Definición y áreas de interés Proyecto
Salón Hogar
L a G r a n E n c i c l o p e d
i a I l u s t r a d a d e l P r o y e c t o S a l ó n H o
g a r
Lanzamiento horizontal
Una pelota de béisbol se proyecta horizontalmente en el
vacío desde un punto O con velocidad
. Si la tierra
no ejerciera ninguna atracción sobre la pelota, y se
supone nula la resistencia del aire, la pelota se
movería en el vacío y en tiempos t1,
t2,
t3… ocuparía
posiciones tales como A, B, C, D ,… y el movimiento
sería rectilíneo uniforme de velocidad constante
. Sin embargo
como la pelota está sometida a la atracción
gravitatoria, a la vez que se mueve horizontalmente, cae
verticalmente con aceleración constante -
y al final de los tiempos indicados, las posiciones de
la pelota son, respectivamente, A', B',C',D' ,… La curva
que une a estos puntos corresponde a una parábola .
La trayectoria seguida por la pelota puede considerarse
como el resultado de dos movimientos: Uno horizontal
uniforme a lo largo del eje x y de velocidad constante
,
y otro vertical de caída, uniformemente variado a lo
largo del eje y de aceleración constante
.
Ecuaciones de la velocidad
La componente horizontal de la velocidad
será de magnitud constante a través de todo el recorrido
e igual a
.
Esto se debe a que el movimiento en esta dirección es
con velocidad constante. En toda la trayectoria la
componente horizontal ()
será la misma velocidad inicial; esto es
. En módulo:
La componente
vertical
en un instante de tiempo cualquiera, viene dada por:
La magnitud de la velocidad resultante V, viene dada en
módulo por la expresión:
Para determinar la dirección del vector
, es decir el
ángulo a que forma
con el eje x ,
basta con aplicar la relación trigonométrica
Luego:
Recordar que
el vector velocidad siempre es tangente a la
trayectoria descrita por la partícula
Ecuaciones del desplazamiento
Como se puede notar el movimiento tiene
simultáneamente un desplazamiento horizontal ()
y un desplazamiento vertical ()
en un instante de tiempo cualesquiera.
La ecuación de desplazamiento
horizontal (X) en
módulo, es la misma del movimiento rectilíneo uniforme
puesto que la rapidez en ese sentido es constante
El desplazamiento vertical (y)
en módulo se calcula como si el cuerpo se moviese en
caída libre
La posición a lo largo del eje
y, en el tiempo
t.
El desplazamiento total (d)
en módulo viene dado por:
La dirección del
desplazamiento se obtiene aplicando la definición
de tangente
El tiempo de vuelo (
)
Es el tiempo transcurrido desde el momento del
lanzamiento hasta tocar el suelo.
Recuerde que la cantidad subradical será siempre
positiva
El alcance horizontal ( R
) es el desplazamiento horizontal en el tiempo de vuelo.
La ecuación para calcular el alcance horizontal, pero
con
Ecuación de la Trayectoria
La idea consiste en demostrar que la trayectoria
del proyectil es parabólica. En efecto, el
desplazamiento horizontal para un cierto tiempo
t viene dado por:
de donde :
(a)
Por otra parte, el desplazamiento vertical al mismo
tiempo t es:
(b)
Como el tiempo para ambos desplazamientos es el mismo,
podemos sustituir t de la
ecuación (a) en
tde la ecuación (b)
quedando:
Como
,
y
g son constantes se pueden
sustituir lo que está dentro del paréntesis por
k, adoptando la expresión la
forma siguiente:
que
corresponde a la ecuación de una parábola.
Por lo tanto las coordenadas ( x ,y
) que determinan la posición de la partícula en el plano
serán:
Ejemplo
Un avión vuela con una velocidad horizontal constante de
600km/h a una altura de 6 km y se dirige hacia un punto
que se encuentra directamente arriba de su objetivo ¿
Cuál es el ángulo de mira al que debe arrojarse un
paquete de supervivencia para que llegue a su objetivo?
Solución
Se escoge un referencial fijo respecto de la
Tierra con su origen 0 en el punto que se suelta el
paquete, cuya velocidad en el momento de ser soltado, es
igual a la del avión. = 600 Km/h =
166,66 m/seg
De aquí que la velocidad inicial del paquete Vo sea
horizontal y su magnitud sea de 600 Km/h. El ángulo de
tiro es cero.
El tiempo de vuelo se calcula con la expresión
= 34,99 seg (
No depende de la rapidez del avión cuando el tiro es
horizontal)
El alcance horizontal es
R =
.
=
166,66 m/seg X 34,99 seg
R =
5831,43 m = 5831,4 m = x
De modo que el ángulo de mira f se
define como
Lanzamiento inclinado
Consiste en estudiar el caso de una partícula o proyectil que se
lanza con una velocidad inicial
,
formando un ángulo q0
con la dirección horizontal. Su velocidad cambia constantemente
debido a la acción del campo gravitatorio.
Los componentes rectangulares de la velocidad inicial
y
.
(Los subíndices se utilizan para indicar los valores iniciales
de en cada uno de los
ejes). Si no existiera la atracción gravitatoria, en tiempos
t1, t2,
t3, … ocuparía
respectivamente posiciones tales como A, B, C, D, y el
movimiento sería rectilíneo uniforme de velocidad constante
, Sin
embargo como el proyectil está sometido a la fuerza de atracción
gravitatoria, a la vez que se mueve según la recta AE, cae
verticalmente, y al final de los tiempos indicados las
posiciones del proyectil son respectivamente A', B',C,'D' … La
curva que une estos puntos determina la trayectoria del
proyectil, que corresponde a una parábola .
Cuando el cuerpo es lanzado forma
un ángulo q0 con la
horizontal y la única fuerza que actúa es la atracción
gravitatoria. Luego en la dirección horizontal no existe
aceleración, en tanto que en la dirección vertical el cuerpo
está sometido a la acción de la fuerza de la gravedad y por
ello, en dicha dirección se manifiesta un movimiento con
aceleración constante. Por lo tanto, el movimiento del proyectil
será el resultado de la composición de dos movimientos, uno con
velocidad constante en el eje x o eje de las abscisas y otro con
aceleración constante en el eje y o eje de las ordenadas.
El proyectil en su movimiento ascendente está dotado de un
movimiento uniformemente retardado con aceleración
= - g. Se observa que
la componente de la velocidad a lo largo del eje y (),
cuando el proyectil sube, va disminuyendo hasta hacerse igual a
cero en el punto de máxima altura
de
la curva. A partir de este punto, cuando el proyectil empieza a
bajar comienza un movimiento uniformemente acelerado
= g , luego la
componente de la velocidad
cambia de sentido y aumenta en magnitud a medida que el cuerpo
continúa su caída libre. Se nota que durante todo
el movimiento, la componente horizontal de la velocidad a lo
largo del eje horizontal (eje x )
se mantiene constante y por consiguiente
el movimiento a lo largo de este eje
es rectilíneo uniforme.
De acuerdo con lo anterior, como la partícula describe un
movimiento que resulta de la superposición de un movimiento
rectilíneo uniforme (
=
constante) y un movimiento uniformemente variado (
=
constante) a lo largo de los ejes x y y, respectivamente,
podemos encontrar las coordenadas de posición ( x,y ) del
proyectil en cualquier instante t a
partir de las siguientes ecuaciones.
Ecuaciones de la velocidad en el momento del lanzamiento
( t = 0)
Se supone que se dispara un proyectil, con una velocidad inicial
,
formando con la horizontal un ángulo q0.
Las componentes del vector
en las direcciones de
los ejes vienen dadas en módulo por:
(Componente Horizontal)
(Componente Vertical)
Ecuaciones de la velocidad para un instante después del
lanzamiento
Cuando el proyectil ocupa una determinada posición en un
instante t después de haber sido
lanzado la velocidad ,
tendrá una componente horizontal que se llama
y
una componente vertical que se llama
.
Ecuaciones del desplazamiento
El movimiento horizontal lo realiza el proyectil con
velocidad constante, por lo que el
desplazamiento horizontal x
viene dado por la ecuación:
La magnitud de la componente horizontal de la velocidad se
mantiene constante a través de todo el recorrido y vendrá dada
por:
La magnitud de la componente vertical en cualquier instante
viene dada por:
La magnitud de la velocidad en cualquier instante viene dada
como:
El ángulo que dicho vector forma con el eje horizontal
representa la dirección de la velocidad y viene dado por:
El movimiento vertical lo realiza con aceleración constante
,
dirigida hacia abajo, por lo que la ecuación del desplazamiento
vertical y vendrá dada por:
Si la anterior ecuación se resuelve para
se obtiene:
Esta ecuación es válida para ángulos de
lanzamientos ubicados dentro del rango 0 <
q0 <
p / 2. La ecuación es válida para
cualquier punto (x,y) a lo largo de la trayectoria del
proyectil. Esta expresión es de la forma y = ax-bx2,
que es la ecuación de una parábola que pasa por el origen. Se
advierte que la trayectoria está completamente especificada si
se conoce tanto la rapidez inicial
como el ángulo de
lanzamiento q0.
Ecuación del tiempo máximo
Se llama tiempo máximo, al tiempo empleado por el
proyectil en alcanzar la altura máxima ().
A medida que el proyectil asciende va disminuyendo su velocidad
hasta llegar un momento en que la misma se hace cero. Para ello
hacemos = 0 en la
ecuación:
Ecuación de la altura máxima ()
La altura máxima se obtiene haciendo
en
la ecuación
Ecuación del tiempo de vuelo ()
El tiempo de vuelo es el tiempo transcurrido por el proyectil
desde su punto partida.
Alcance horizontal ( R )
Es el desplazamiento horizontal en el tiempo de vuelo.
Ejemplo 2
José Manuel Rey, un notable futbolista de la Vinotinto
patea el balón con un ángulo de inclinación sobre la horizontal
de 37º y con una velocidad inicial de 20 m/seg. A 36 m del punto
de partida se encuentra un vertical de la Portería con el cual
choca la esférica. ¿A que altura del poste respecto a la
horizontal pega el balón?
Solución
= 20 m/seg
q0= 37º
X = 36 m
La posición se denota por la
ecuación:
Y = 2,19 = 2,2 m
Ejemplo 3
Un día un Cazador salió a capturar monos. Pronto encontró
uno colgado tranquilamente en la rama de un árbol. El cazador no
era muy buen físico y pensó que si apuntaba directamente al
mono, seguramente le daría. El cazador apunta directamente al
mono sin tener en cuenta que el dardo seguirá una trayectoria
parabólica y por lo tanto pasará debajo del mono. Pero el mono
había visto el cazador y mientras éste apuntaba hacia él, el
mono pensaba cuidadosamente que hacer.
Decidió que abandonaría la rama justo cuando viera salir el
dardo de la cerbatana, se suelta de la rama y cae del árbol
esperando evitar el dardo. Demostrar que el mono será alcanzado
por el dardo independiente de cual sea la velocidad inicial del
dardo, con tal que sea suficientemente grande para recorrer la
distancia horizontal que hay hasta el árbol.
Solución
El mono y el dardo se aceleran hacia abajo en la misma
cantidad.
La altura del dardo en cualquier instante es:
La altura del mono en cualquier instante es:
Demostrar que H = Voy. t;
Efectivamente el mono es alcanzado por el dardo.
Nota:
Una colisión puede ocurrir cuando
d es la elevación inicial del
blanco sobre el suelo.
. Si la tierra
no ejerciera ninguna atracción sobre la pelota, y se
supone nula la resistencia del aire, la pelota se
movería en el vacío y en tiempos 
y al final de los tiempos indicados, las posiciones de
la pelota son, respectivamente, A', B',C',D' ,… La curva
que une a estos puntos corresponde a una parábola .
,
y otro vertical de caída, uniformemente variado a lo
largo del eje y de aceleración constante
.
será de magnitud constante a través de todo el recorrido
e igual a
.
Esto se debe a que el movimiento en esta dirección es
con velocidad constante. En toda la trayectoria la
componente horizontal (
. En módulo:
en un instante de tiempo cualquiera, viene dada por:
, es decir el
ángulo a que forma
)
y un desplazamiento vertical (
)
en un instante de tiempo cualesquiera. 
)
(a)
(b)
,
y
.
(Los subíndices se utilizan para indicar los valores iniciales
de 
= - g. Se observa que
la componente de la velocidad a lo largo del eje y (
de
la curva. A partir de este punto, cuando el proyectil empieza a
bajar comienza un movimiento uniformemente acelerado
y
una componente vertical que se llama
se obtiene:
).
en
la ecuación
