Matemáticas
 

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¿Qué son los números?

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...

 

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Contar

¡Aprender a contar es divertido!

Para llegar a dominar el contar hasta 100 prueba con el Juego de contar hasta 100

Cuenta hasta 100 con nombres

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve diez

 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
once doce trece catorce quince dieciséis diecisiete dieciocho diecinueve veinte

 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
veintiuno veintidós veintitrés veinticuatro veinticinco veintiséis veintisiete veintiocho veintinueve treinta

 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
treinta
y uno
treinta
y dos
treinta
y tres
treinta
y cuatro
treinta
y cinco
treinta
y seis
treinta
y siete
treinta
y ocho
treinta
y nueve
cuarenta

 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
cuarenta
y uno
cuarenta
y dos
cuarenta
y tres
cuarenta
y cuatro
cuarenta
y cinco
cuarenta
y seis
cuarenta
y siete
cuarenta
y ocho
cuarenta
y nueve
cincuenta

 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
cincuenta
y uno
cincuenta
y dos
cincuenta
y tres
cincuenta
y cuatro
cincuenta
y cinco
cincuenta
y seis
cincuenta
y siete
cincuenta
y ocho
cincuenta
y nueve
sesenta

 
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
sesenta
y uno
sesenta
y dos
sesenta
y tres
sesenta
y cuatro
sesenta
y cinco
sesenta
y seis
sesenta
y siete
sesenta
y ocho
sesenta
y nueve
setenta

 
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
setenta
y uno
setenta
y dos
setenta
y tres
setenta
y cuatro
setenta
y cinco
setenta
y seis
setenta
y siete
setenta
y ocho
setenta
y nueve
ochenta

 
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
ochenta
y uno
ochenta
y dos
ochenta
y tres
ochenta
y cuatro
ochenta
y cinco
ochenta
y seis
ochenta
y siete
ochenta
y ocho
ochenta
y nueve
noventa

 
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
noventa
y uno
noventa
y dos
noventa
y tres
noventa
y cuatro
noventa
y cinco
noventa
y seis
noventa
y siete
noventa
y ocho
noventa
y nueve
cien

Los numeros son ideas de cantidad que están en nuestra mente: dos amigos, veinte compañeros, tres hermanos... La forma en que representamos o escribimos esa idea recibe el nombre de numeral.

Nuestros numerales actuales son de origen indoarábigo. Es decir, el hombre combinó ambos sistemas de contar -los de indios y árabes- y esto se extendió por todo el mundo, hasta tener la forma de hoy.

  • A partir de diez cifras

El sistema numérico que nosotros utilizamos, recibe el nombre de decimal. Se denomina así porque a partir de sólo 10 cifras se puede formar cualquier numeral. Esas cifras se conocen como el conjunto de los dígitos, relacionando su nombre con los dedos de nuestras manos. Los dígitos son: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Tomaremos como ejemplo los dígitos 1, 2 y 3.

Con ellos se pueden formar varios numerales: 123, 132, 213, 231, 312 y 321.

Te habrás podido dar cuenta que utilizamos los mismos dígitos, pero los numerales obtenidos son distintos.

  • Columna y valor de posición

¿Cuál es la razón de que, combinando los números, los numerales obtenidos sean distintos?

Lo que sucede es que cada dígito tiene su valor de acuerdo al lugar que ocupa en el numeral. Desde la última cifra contamos las columnas de posición de las unidades (U.), las decenas (D.) y las centenas (C.). El valor de las decenas es 10 veces su cifra y el de las centenas, es 100 veces el dígito.

Unidades (U.)  1

Decenas (D.) 10

Centenas (C.) 100

Coloquemos uno de nuestros numerales en las columnas de posición. Observemos el numeral 321, que queda ubicado así:

321

En este caso, el dígito 1 está en el valor de la unidad, es decir, vale 1; el 2 ocupa el lugar de las decenas, por lo tanto, vale 20; y el 3 corresponde a las centenas, o sea, su valor es de 300.

Entonces, 321 según las columnas de posición, es igual a: 3 C. + 2 D. + 1 U.

y de acuerdo al valor de sus cifras es: 300 + 20 + 1

  • Para leer y escribir numerales

Los valores de posición nos ayudan a leer y escribir numerales.

Volvamos al 321:

321 se lee trescientos veintiuno.

¿Sabías que para leer o escribir numerales más grandes basta con saber hacerlo hasta las centenas? Sí, porque las cifras van separadas -cada tres- por un punto. Analicemos este caso

426,197

Antes del punto dice cuatrocientos veintiséis; después de la coma, ciento noventa y siete. Leyendo todo junto tenemos: cuatrocientos veintiséis mil ciento noventa y siete.

El ejemplo anterior nos sirve para conocer nuevas columnas y valores de posición que ubicamos desde la derecha: Unidad de Mil (U.M.), Decena de Mil (D.M.) y Centena de Mil (D.M.)

426.197 = 4 C.M. + 2 D.M. + 6 U.M. + 1 C. + 2 D. + 7 U., en columnas de posición.

426,197 = 400,000 + 20,000 + 6,000 + 100 + 90 + 7, en valores de posición.

Numerales y sus secretos

Otra particularidad de nuestro sistema numérico es que en él podemos decir si un numeral es mayor o menor que otro, o sea, se pueden comparar.

¿Cuándo es menor? Cuando está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica, es decir, más cerca del 0. El símbolo que nos indica menor que es:

<

¿Cuándo es mayor? Si está ubicado a la derecha de otro en la recta numérica, es decir, está más lejos del 0. El símbolo matemático para indicar mayor que es:

>

Por ejemplo:

 328

 <

 856

 y

 856

 >

328

  Menor que

  Mayor que

Las columnas de posición también sirven para comparar numerales. Así:

Es mayor el número que tiene más columnas de posición:

 324,409

 >

 32,449

 >

 409

6 columnas

5 columnas

 3 columnas

Si los numerales tienen la misma cantidad de columnas, es necesario revisar los dígitos que las forman desde la que tiene mayor valor, es decir, la que está más a la izquierda. Es mayor el numeral que tiene el dígito de más valor en esa columna. Si tienen el mismo dígito, se compara con la columna que sigue. Analicemos:

 

 42,726

 

 >

 

 27,426

 

 >

 

 23,426

 

  >

 

17,332

Antecesor y sucesor

 Nuestro sistema numérico forma dos conjuntos de números: los naturales, que se utilizan para contar y empiezan en el 1; y los cardinales, que sirven para determinar el número de elementos de un conjunto y empiezan en el 0, porque hay conjuntos vacíos.

Ambos conjuntos numéricos son ordenados, porque hay un antecesor y un sucesor de cada numeral. En antecesor se obtiene restándole 1 unidad a un número dado y el sucesor, sumándole 1 unidad a un número dado.

Cardinales

 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...}

Naturales

 {1,2,3,4,5,6,7,8,9...}

 

  • Secuencias numéricas

Son sucesiones de números que van avanzando o retrocediendo, en la recta numérica, la misma cantidad de espacios. Así, hay secuencias de 1 en 1; de 6 en 6, de 100 en 100, etcétera.

Observa:

30.402 - 30.502 - 30.602 - 30.702 - ...

En esta secuencia cambia la Centena, 1 cada vez; entonces va avanzando de 100 en 100.

  • Equivalencia entre columnas de posición

Hay una tabla que nos ayudará a hacerlo. Junto con ella, aprovechemos y utilicemos nuestro dinero, que se relaciona con el valor de cada columna:

 

Las monedas de .1¢ son Unidades

UNIDADES

Las de .10¢ son Decenas

DECENAS

Los billetes de $100 son Centenas

CENTENAS

 Los billetes de $1000 serian Unidades de Mil

MILES

Los billetes de $10,000 serian Decenas de Mil.

DECENAS DE MILES

 

Veamos un ejemplo:

¿Cuántos billetes de $100 se necesitan para formar $50,000? $50,000 son 5 billetes de $10,000, es decir, 5 D.M., y cada billete de $100 es 1 C.

En la tabla quedaría:

El mundo de los dígitos

Cuando el hombre logró organizar un sistema de signos para contar, nació lo que llamamos numerales.

La primera manifestación de símbolos numéricos aparece alrededor de 2.000 años a.C. con los sumerios, en Asia Menor. Sus conquistadores, los babilonios, continuaron con la misma utilización.

Toda civilización que alcanzó altos niveles de desarrollo, tuvo su propio sistema de numeración.

Para que los signos formen un sistema numérico, deben cumplir con algunos requisitos importantes, como son la posición, el valor y el orden.

Los números romanos

El sistema numérico romano ha perdurado hasta hoy, utilizándose para identificar siglos, indicar orden, en números de relojes y otras aplicaciones. El sistema de numeración romano se basa en siete símbolos y funciona con las siguientes reglas:

  • De repetición: se pueden repetir hasta tres veces los símbolos I, X, C, M y sus valores se suman. No se repiten ni anteponen los símbolos: V, L y D.

  • De adición: un símbolo menor a la derecha de otro mayor, suma su valor a éste.

  • De sustracción: un símbolo menor a la izquierda de otro mayor, resta su valor a éste. Hay que recordar que:

 

  • I va sólo a la izquierda de V ó X,

  • X va sólo a la izquierda de L ó C y

  • C va sólo a la izquierda de D ó M.

· De multiplicación: una línea horizontal sobre un número, significa que ese número se multiplica por 1.000.

IVXLCDM
Los siete símbolos en que se basa la numeración romana

¿Cómo eran los números egipcios?

El conocimiento de los métodos de cálculo de los egipcios y su aplicación en distintos problemas proviene de las inscripciones talladas en piedras, de los calendarios y sobre todo de algunos papiros. Entre los más antiguos cabe destacar, especialmente dos: el papiro Golenischevse que se conserva en Moscú y el papiro Rhind o de Ahmes que se halla en el British Museum.

Los estudios matemáticos en el Antiguo Egipto tuvieron un origen práctico. Alcanzaron un gran nivel en las manipulaciones aritméticas pero sus métodos eran toscos y sin grandes generalizaciones. Casi no hay simbolismo y los egipcios eran poco dados a investigaciones abstractas. Trabajaron sobre todo en geometría y aritmética.

Desde el tercer milenio A.C. los egipcios crearon un sistema de numeración decimal, es decir contaban de 10 en 10, no tenían símbolo para el cero y utilizaban los geroglíficos (ver glosario) de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.

El procedimiento era de tipo aditivo, es decir, las cifras eran repetidas. Así, por ejemplo, si el uno se escribía como una línea vertical, el cuatro era representado como cuatro líneas verticales. Un signo no se repetía más de nueve veces seguidas, ya que a la décima vez se utilizaba el número siguiente.

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podian escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.

Como no importaba el orden, se escribían a veces según criterios estéticos y solían ir acompañados de los geroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban.
 

Pero en un principio los egipcios escribían los nueve primeros números colocando símbolos de la unidad, uno a continuación de otro; más tarde utilizaron la representación por desdoblamiento mientras los arameos de Egipto usaban un principio ternario (ver tabla).

1

2

3

4

5

6

7

8

9

••

•••

••••

•••
••

•••
•••

••••
•••

••••
••••

•••
•••
•••

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•••

••••

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•••

•••
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•••
••

•••
•••
•••

Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica (ver glosario), formas más simples que permitian mayor rapidez y comodidad a los escribas.

En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para 20, 30...90...200, 300...900, 2000, 3000... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.

Estos jeroglificos numéricos estaban reservados a las inscripciones sobre monumentos de piedra. Los escribas para realizar los documentos de tipo administrativo, astronómico, etc., fueron simplificando el trazo hasta obtener los llamados signos hieráticos. Por ejemplo el 20 en notación jeroglífica se escribía , mientras en hierática se denotaba mediante .

El escriba o calculador egipcio realizaba operaciones aritméticas elementales, con números enteros y el uso casi exclusivo de fracciones unitarias. El papiro de Rhind contiene al principio una tabla en la que se expresan las fracciones de numerador 2 y de denominador impar entre 5 y 101, como suma de fracciones unitarias; con ellas efectuaban las cuatro operaciones aritméticas con fracciones.

La naturaleza de los números irracionales no llegó a reconocerse en la aritmética egipcia. Las raíces cuadradas sencillas que aparecían en los problemas se expresaban mediante números enteros y fracciones.

Contando hasta hoy...

Gracias a los árabes que se dedicaron al comercio de productos de la India, fue posible la fusión del sistema numérico árabe con el hindú. Pronto, esta combinación se utilizaría en toda Europa, dando origen a nuestro actual sistema numérico. Por eso decimos que su origen es indo-arábigo.

En nuestros días hay otro sistema numérico muy utilizado, el binario, que tiene como base los dígitos 0 y 1; con este sistema funcionan los computadores. Cada caracter del teclado de un computador es una serie irrepetible de ceros y unos. Los ceros indican a la unidad de control que no pasa electricidad; y los unos, que sí hay impulsos eléctricos.

Nuestro sistema numérico

 

U
D
C
U.M
D.M
C.M
U.Mi
D.Mi
C.Mi

=
=
=
=
=
=
=
=
=

Unidades
Decenas
Centenas
Unidades de mil
Decenas de mil
Centenas de mil
Unidades de millón
Decenas de millón
Centenas de millón


El sistema numérico que usamos actualmente es decimal, porque se basa en diez cifras llamadas dígitos, por su relación con el número de dedos de las manos.

Los dígitos son: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Con estos diez símbolos podemos formar cualquier numeral de nuestro sistema.

En un numeral, cada dígito tiene una posición y de acuerdo a ella es su valor.

Las columnas de posición son infinitas, porque nuestro sistema ¡es infinito! ¡No existe el número mayor de todos!

Las columnas más utilizadas están identificadas en esta tabla de columnas de posición.

El valor de posición de un dígito se obtiene multiplicándolo por una potencia de 10 (10 - 100 - 1.000).

Te contaremos un secreto para saber por cuál de ellas se multiplica el dígito dado: cuenta las cifras que están a la derecha del dígito seleccionado y, de acuerdo a ellas, son los ceros que le colocas al 1 para completar la potencia de 10. Si para el número 5.320 quieres saber el valor del 3, vemos que hay 2 cifras a la derecha de él; por lo tanto, su valor es 3 por 100 y eso es 300.

En tanto que el valor del 5 es 5 por 1.000, ya que tiene 3 cifras hacia la derecha; entonces, su valor es 5.000.

Y, ¡atención! Si lees el número lentamente, obtendrás el valor de cada dígito sin hacer ninguna operación.

Si te fijas bien, para leer numerales vamos separando cada tres cifras con un punto que diferencia los millones, los miles y las unidades.

Veamos un ejemplo:

25,216,054

Aquí leemos veinticinco millones doscientos dieciséis mil cincuenta y cuatro

Relación de orden

Cuando hablamos de mayor y menor, nos referimos a la característica de orden entre numerales. Observemos que, en nuestro sistema, cada número tiene otro que le sigue y que se forma de sumarle 1 a él mismo. A este número así formado lo llamamos sucesor. Por ejemplo, para el número 97, su sucesor es

97 + 1 = 98.

¿Te das cuenta de por qué nuestro sistema es infinito?

¡Todo número tiene un sucesor y sólo uno!

También decimos que cada número tiene antecesor, que se obtiene restando 1 del número dado; entonces, para el número 54, su antecesor es 54 - 1 y esto es 53.

Hay un número natural que no tiene antecesor: es el 1; y en los cardinales, el 0.

 


Hay dos conjuntos numéricos que debemos reconocer:

Conjunto de los nímeros naturales. Empieza en el 1.

 {1,2,3,4,5,6,7,8,9...}


Conjunto de los números cardinales y empiezan con el 0
.

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...}

Los puntos (...) significan "y así sucesivamente"
 

Conocer las propiedades numéricas

En los seres humanos existen relaciones entre dos personas: Padre-hijo, Madre-hija, hermano-hermana, amiga-amigo, etcétera; las propiedades de los números se determinaron al establecer relaciones entre dos de ellos. Tú ya conoces algunas relaciones como las de: mayor que (>), menor que (< ), mayor o igual que y menor o igual que. También identificas la relación de equivalencia igual que (=).

Ahora te invitamos a conocer otras relaciones.    

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