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MODELOS LINEALES

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Funciones y dominios

Una función real f de una variable es una regla que asigna a cada número real x en un conjunto especificado de números reales llamado el dominio de f, un número real único f(x).

La variable x se llama la variable independiente. Si y = f(x) llamamos a y la variable dependiente.

Una función puede ser especificado:

  • numéricamente: por medio de una tabla
  • algebráicamente: por medio de una formula
  • gráficamente: por medio de una gráfica.

Nota acerca de los dominios
El dominio de una función no es siempre explícitamente especificado; cuando no se especifica algún dominio para una función f, supondremos que el dominio está el conjunto más grande de los números x para los cuales tiene sentido f(x). Esta "dominio más grande posible" se le llama a veces el dominio natural.

Pulse aquí para ir a una página que se deja evaluar y dibujar a las curvas de funciones.
Pulse aqui para descargar una graficador Excel.

 

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Ejemplos

Función especificado numéricamente Sea f la función especificada por la siguiente tabla:

 

x 0 1 2 3
f(x) 3.01 -1.03 2.22 0.01

Entonces, f(0) = 3.01, f(1) = -1.03, y así sucesivamente.

Función especificado algebráicamente: Sea f la función especificada por f(x) = 3x2 - 4x + 1. Entonces

    f(2) = 3(2)2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5,
    f(-1) = 3(-1)2 - 4(-1) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8.
Como f(x) se defina para toda x, el dominio de f es el conjunto de todos números reales.

Función especificado gráficamente: Sea f la función especificada por la siguiente gráfica.

 

Entonces, f(0) = 1, f(1) = 0, y f(3) = 5.

 

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Intervalos

El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos números reales x tal que axb.

El intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < b.

El intervalo (a, ∞) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < +∞, y (-∞, b) es el conjunto de todos números reales x tal que -∞ < x < b.

Tenemos tembién intervalos medios abiertos de la forma [a, b) y (a, b].

 

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Ejemplos

 

Intervalo Dibujo Descripción
[-1, 6) -1 ≤ x < 6
(2, 4) 2 < x < 4
(-∞, 0] -∞ < x ≤ 0

 

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Gráfica de una función

La gráfica de una función f es el conjunto de todos puntos (x, f(x)) en el plano-xy, tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f.

La siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:

 

Prueba de la recta vertical
Para que una gráfica sea la gráfica de una función, cada recta vertical debe intersecarse con la gráfica en un solo punto.

 

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Ejemplo

Para obtener la gráfica de

f(x) = 3x2 - 4x + 1     Forma de función
con dominio restringido a [0, + ∞), sustituimos f(x) por y, y obtenemos la ecuación
y = 3x2 - 4x + 1.     Forma de ecuación
Entonces obtenemos la gráfica por trazando puntos, donde restringimos a x al estar en [0, + ∞), y obtenemos el siguiente dibujo:

 

No hay nada a la izquierda del eje-y, pues hemos restringido a x al estar ≥ 0.

 

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Funciones lineales

Una función lineal es una función de la forma

 

    f(x) = mx + b     Notación de función
    y = mx + b     Notación de ecuación

donde m y b son números fijos (los nombres 'm' y 'b' son tradicionales).

Papel de m: Si y = mx + b, entonces:
 (a) y cambia en m unidades para cada cambio de x en una unidad.
 (b) Un cambio de Δx unidades en x resulta en un cambio de Δy = mΔx unidades en y.
 (c) Despejando a m, se obtiene

 

    m =
    Δy

    Δ
    x
    =
    Cambio en y

    Cambio en
    x

Papel de b: Cuando x = 0, y = b (forma de ecuación), o f(0) = b (forma de función)

 

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Ejemplos

La función

f(x) = 5x - 1
es una función lineal donde m = 5 y b = -1.

Las siguientes ecuaciones se puede solucionar para y como funciones lineales de x.

    3x - y + 4 = 0   y = 3x + 4
    4y = 0   y = 0
    3x + 4y = 5   y = -(3/4)x + 5/4

 

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Rectas

La gráfica de una ecuación lineal es una recta. El pendiente de la recta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2) es se expresa por la formula

    m =
    y2 - y1

    x2 - x
    1
    =
    Δy

    Δ
    x

La gráfica de la función lineal

 

  f(x) = mx + b   Forma de función
o    
  y = mx + b   Forma de ecuación

es una recta con pendiente m y intersección en y igual a b.

 

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Ejemplos

El pendiente de la recta que pasa por (2, -3) y (1, 2) se expresa por

    m =
    y2 - y1

    x2 - x
    1
      =
    2 + 3

    1 - 2
      = -5.

Para ver como dibujar la gráfica de una función lineal, vea el siguiente tópico.

 

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Dibujando la gráfica de una función lineal

Hay dos métodos buenos para dibujar la gráfica de una función lineal.

(a) Escriba la función en la forma y = mx+b, y después dibuje la recta con intersección en y igual a b y pendiente igual a m.

(b) Calcule las intersecciones en x y y, y después dibuje la recta que pasa por aquellos dos puntos. Para calcular la intersección en x de una recta, establezca y = 0 en su ecuación y despeje a x. Para calcular la intersección en y, establezca x = 0, y despeje a y. Este método sirva solo cuando la recta no pasa por el origen. En este caso, tendrá que trazar un punto adicional o usar el primero método.

Ejemplos

Aquí son estas técnicas aplicadas a la recta con ecuación 2x - 3y = -6.

(a) Despejando a y, obtenemos y = 2x/3 + 2. Entonces, el pendiente es 2/3 y la intersección en y es 2. La siguiente figura muestra dos pasos para dibujar la gráfica.

Paso 1
Empiece con la intersección en y.
Paso 2
Dibuje una recta con la pendiente que se da.
Intersección-y =2
Pendiente = 2/3

(b) Para obtener la intersección en x, establezca y = 0. La ecuación se convierte a 2x - 3(0) = -6 y obtenemos x = -3. Esta es la intersección en x. Para obtener la intersección en y, establezca x = 0, y obtenemos 2(0) - 3y = -6, entonces y = 2. La siguiente figura muestra dos pasos para dibujar la gráfica.

 

Paso 1
Empiece con las intersecciones en x y en y.
Intersección-x = -3
Intersección-y = 2
Paso 2
Dibuje la recta que pasa por las dos intersecciones.

 

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Ajustando una ecuación lineal a datos: Como hacer un modelo lineal

Formula punto-pendiente:

Una ecuación de la recta que pasa por el punto (x1, y1) con pendiente m es

 

  y = mx + b    
donde
  b = y1 - mx1

Cuando aplicar la formula punto-pendiente

 

  • Aplique la formula punto-pendiente para determinar la ecuación de una recta siempre que tiene información acerca un punto y la pendiente de la recta. La formula no se aplica si la pendiente es indefinida.
  • Si ya sabe la pendiente m y la intersección b en y, entonces puede sencillamente escribir la función lineal como
        y = mx + b.
    Esta formula se llama la
    formula pendiente-intersección.

Rectas verticales y horizontales

Una ecuación de la recta horizontal que pasa por (x1, y1) es

y = y1.

Una ecuación de la recta vertical que pasa por (x1, y1) es

x = x1.

 

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Ejemplos

Una ecuación de la recta que pasa por (1, 2) con pendiente -5 es

  y = -5x + b,
donde
  b = y1 - mx1 = 2 - (-5)(1) = 7
entonces
  y = -5x + 7.

Una ecuación de la recta horizontal que pasa por (3, -4) es

    y = -4.

Una ecuación de la recta vertical que pasa por (3, -4) es

    x = 3.

 

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Interpretación de la pendiente en aplicaciones

La pendiente de la recta y = mx + b es la razón de cambio de y para cada cambio de x en una unidad. Las unidades de medida de la pendiente son unidades de y por unidad de x

Si y es desplazamiento y x es tiempo, entonces la pendiente representa la velocidad. Sus unidades son unidades de medida de desplazamiento por unidad de tiempo (por ejemplo, metros por segundo).

Si y es costo y x es el número de artículos, entonces la pendiente representa costo marginal. Sus unidades son unidades de costo por artículo (por ejemplo, euros por artículo).

 

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Ejemplo

El número de páginas web en este sitio se puede expresar por la ecuación

n = 1.2t + 200,
donde t es tiempo en semanas desde 1 de junio, 1997. La pendiente es m = 1.2 páginas web por semana. Entonces, el número de páginas está creciendo a una tasa de 1.2 páginas por semana.

 

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Costo, ingreso y utilidad

Una función (de) costo C especifica el costo C(x) como una función del número de artículos x.. Una función costo lineal tiene la forma

C(x) = mx + b,

donde m es el costo marginal, y b es el costo fijo. Una función ingreso R especifica el ingreso R(x) que resulta de la venta de x artículos. Una función utilidad P especifica la utilidad (ingreso neto) P(x) que resulta de la venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula

P(x) = R(x) - C(x).

Equilibrio se ocurre cuando

P(x) = 0

o, equivalentemente, cuando

R(x) = C(x).

 

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Ejemplo

Si el costo fijo es $400, y si el costo marginal es $40 por artículo, y si se vende los artículos a $60 cada uno, entonces

    C(x) = 40x + 400
    R(x) = 60x
    P(x) = R(x) - C(x)
      = 60x - (40x + 400)
      = 20x - 400.
Para equilibrio,
    P(x) = 0
    20x - 400 = 0,
entonces x = 20. Por lo tanto, tiene que vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio.

 

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Demanda y ingreso

Una función lineal (de) demanda tiene la forma q = mp + b, donde q es la demanda (número de artículos vendidos) y p es el precio por artículo. Se puede construir una ecuación demanda lineal a saber la demanda a dos precios distintos. El ingreso que resulta es

R = pq (Precio por cantidad).

Se puede especificar ingreso como una función de p solo si se usa la ecuación demanda para sustituye por q.

Ejemplo

Si se vende 100 camisetas por semana cuando el precio es $10, y 200 por semana cuando se baja el precio hasta $8, entonces la ecuación (lineal) demanda es

    q = -50p + 600     Ecuación de recta por (10, 100) y (8, 200)
Entonces, la función ingreso relacionada es
    R = pq = p(-50p+600)
        = -50p2 + 600p.

     

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Regresión lineal

Valores observados y pronosticados

Supongamos que tenemos un conjunto de puntos de datos (x1, y1), ..., (xn, yn). Las n cantidades y1, y2, ..., yn se llaman los valores observados y. Si se modela estos datos con una ecuación lineal

 


    y
    = mx + b       

    y
      representa y "estimada" o "pronosticada".
entonces los valores de y que se obtiene por sustituir x en la ecuación por los valores dados de x se llaman los valores y pronosticados:

    y
    1
    = mx1 + b       Sustituya x por x1

    y
    2
    = mx2 + b   Sustituya x por x2
        . . .    

    y
    n
    = mxn + b   Sustituya x por xn

Residuos y error suma de cuadrados, (SSE)

Si modelamos un conjunto de datos (x1, y1), ... , (xn, yn) con una ecuación lineal como más arriba, entonces los residuos son los n cantidades (Valor actual - valor pronosticado):

         
    (y1 - y1),  
         
    (y2 - y2),  
    . . .   ,    
    (yn - yn)

El error suma de cuadrados (SSE) es la suma de cuadrados de los residuos:

    SSE =          
    (y1 - y1)2 +
           
    (y2 - y2)2 +
    . . .   +        
    (yn - yn)2 +

Recta de regresión

La recta de regreión (recta de mínimos cuadrados, recta de mejor ajuste) relacionada con los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn) es la recta que se minimiza el valor de SSE.

La recta de regresión se representa por

 

    y = mx + b

donde

    m =
    nxy) - (Σx)(Σy)

    nx2) - (Σx)
    2
    b =
    Σy - mx)

    n
    n = número de puntos de datos

 

 

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Ejemplos

Valores observados y pronosticados

Para los tres puntos de datos (0, 2), (2, 5), y (4, 6), los valores observados de y son y1 = 2, y2 = 5, y y3 = 6. Si modelamos estos datos con la ecuación


    y
    = 2x + 1.5
entonces los valores pronosticados se obtiene por sustituir x en la ecuación de la recta por los valores dados de x:

    y
    1
    =
    2x1 + 1.5 = 2(0) + 1.5 = 1.5

    y
    2
    =
    2x2 + 1.5 =  

    y
    3
    =
    2x3 + 1.5 =
     

Residuos y error suma de cuadrados, (SSE)

Para los tres puntos de datos (0, 2), (2, 5), y (4, 6) y el modelo lineal 2x + 1.5 que se muestra más arriba, los residuos son:

     
    y1 - y
    1
    = 2 - 1.5 = 0.5
     
    y2 - y
    2
    =
     
     
    y2 - y
    2
    =
     

El error suma de cuadrados se obtiene por cuadrar y sumar las respuestas:

    SSE = (0.5)2 + (-0.5)2 + (-3.5)2 = 12.75

 

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