Aplicaciones lineales (Homomorfismos)
Fecha de primera versión: 21-09-01
Fecha de última actualización:
19/04/2010
Una aplicación f de B en C es una aplicación lineal (también llamado homomorfismo) si cumple estas condiciones:
f(x + y) = f(x) + f(y) (para todo x, y)
f(ax) = a f(x) (para todo a perteneciente al cuerpo sobre el que se definen los
espacios vectoriales B y C).
Para comprobar si una aplicación f es un homomorfismo se utiliza un teorema que dice que si f(a1x + a2y) = a1f(x) + a2f(y) para todo a1, a2 y para todo x, y, f es un homomorfismo.
f(0) = 0.
Para todo vector x perteneciente a B, f(-x) = - f(x).
La imagen de un subespacio vectorial de B es un subespacio vectorial en C.
Si X es un subespacio vectorial de C, f -1(X) es un subespacio en B.
Si S es un sistema de generadores de B, entonces f(S) es un sistema de
generadores de C.
Cuando los conjuntos de entrada y salida son el mismo (B = C) la aplicación lineal se llama endomorfismo.
Cuando la aplicación (f) es inyectiva la aplicación lineal se llama monomorfismo.
Cuando la aplicación (f) es biyectiva la aplicación lineal se llama isomorfismo.
Cuando la aplicación (f) es sobreyectiva la aplicación lineal se llama epimorfismo.
Automorfismo = Isomorfismo + Endomorfismo
El núcleo de una aplicación lineal es el conjunto de elementos de B cuya imagen es 0. El núcleo de f se representa por Ker f. (Ker es la abreviatura de Kernel que significa núcleo en inglés).
El núcleo es un subespacio vectorial de B.
f es un monomorfismo si y sólo si Ker f = {0}
Ker f = {0} si y sólo si la imagen de cualquier sistema libre de B es un
sistema libre de C.
El rango de una aplicación lineal es la dimensión del espacio f(B).
Sea x un vector del espacio vectorial B y sea y el vector imagen de x.
Sea {b1, b2, ... bn} la base que utilizamos en el espacio vectorial B y sea {c1, c2, ... cn} la base que utilizamos en el espacio vectorial C.
Apliquemos la transformación f a la base que utilizamos en el espacio vectorial B. Las imágenes de los vectores que forman la base que utilizamos en el espacio vectorial B se pueden representar por estas expresiones:
f(b1) = a11c1 + a21c2
+ ... + an1cn
f(b2) = a12c1 + a22c2 +
... + an2cn
.................................................................
f(bn) = a1nc1 + a2nc2 +
... + anncn
Podemos representar este sistema de ecuaciones en forma matricial. La matriz A formada por los coeficientes aij, es única (esto quiere decir que no hay otra matriz que realice la transformación).
Entonces podemos calcular las coordenadas de la imagen del vector x utilizando esta fórmula: Y = AX. Siendo y el vector (y1, y2, ... yn) y x el vector (x1, x2, ... xn).