Catenaria
Fecha de primera versión: 12-07-99
Fecha de última actualización:
19/04/2010
La catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos.
Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron equivocadamente que la curva era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no era una parábola, pero no encontró la ecuación.
En 1691, en respuesta a un reto de Jacob Bernoulli, Leibnitz, Huygens, por métodos geométricos, y Johann Bernoulli encontraron la ecuación. Este reto de Jackob Bernoulli, resuelto por Johann, fue el comienzo de la rivalidad entre ellos.
El nombre de catenaria se debe a Huygens.
Johann Bernoulli resolvió el problema de la siguiente manera:
Consideró el trozo de cadena OA. Las fuerzas que actúan sobre ese trozo son el peso P, la fuerza F (que depende del lado izquierdo de la cadena y por lo tanto es constante) y G.
Siendo a el ángulo que forma G con la horizontal, tenemos que, como el trozo OA está en equilibrio:
P = G sen a
F = G cos a
Dividiendo ambas ecuaciones tenemos: tg a = P/F
pero tg a también es igual a dy/dx
Pero como la cadena es homogénea, el peso P = k.l (siendo k el peso de la cadena por unidad de longitud y l, la longitud del arco OA)
dy/dx = P/F = kl / F
Como k y F son constantes, podemos hacer F/k = b y nos queda:
dy/dx = l / b
Derivando esta ecuación respecto a x, nos queda:
d2y/dx2 = 1/b dl /dx
pero dl = raíz (dx2 + dy2) = raíz (1 + (dy/dx)2)
haciendo dy/dx = z, nos queda:
dz/dx = 1/b raíz (1 + z2)
Integrando queda: z = senh x/b + C
Para calcular la constante C, aplicamos la ecuación en el origen y vemos que C = 0
Deshaciendo en cambio z = dy/dx nos queda:
y = cosh x/b - b
La ecuación genérica de la catenaria en coordenadas cartesianas es: y = a/2(ex/a + e-x/a) = a.cosh(x/a). Siendo a la distancia desde el origen hasta la curva.
En paramétricas: x = a ln t, y = a/2 (t + 1/t)
La longitud de la catenaria se calcula mediante la integral
L = a(ex/a - e-x/a)
En la página http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html encontrarás todo sobre las curvas.