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Supongamos que z es un número mucho menor que 1 (escrito
z
<< 1, o para valores absolutos |z| << 1).
(1 - z)(1 + z) = 1 -
z2
Puesto que z2 es mucho menor
que 1 ó z, podemos escribir, usando el símbolo ~ para
"aproximadamente igual a"
(1 - z)(1 + z) ~ 1
y dividiendo ambos lados por
(1 -z)
(1+z) ~ 1/(1-z)
(Muchos textos usan el símbolo ~ colocado sobre el signo igual;
sin embargo esa combinación no es posible en los textos web). Por
ejemplo (compruébelo con su calculadora)
Si
z = 0.01, (1+z) = 1.01,
(1-z) = 0.99,
luego 1/(1-z)
= 1/0.99 = 1.010101...
que es bastante parecido a (1+z).
La regla básica es: se pueden despreciar pequeñas
cantidades como z, z2, z3 etc. cuando
están sumadas a (o restadas de) otra mucho mayor. No se puede
hacer eso si se está multiplicando o dividiendo, porque entonces,
si se eliminan, se desvirtúa la ecuación que la contiene.
Aquí z puede ser positiva o negativa. Si
escribimos z = -y, donde y es
un número pequeño de signo contrario, obtenemos
(1-y) ~ 1/(1+y)
que es otro resultado útil, válido para cualquier número
pequeño. Si ese número pequeño se cambia de nombre
y se le llama z (no el mismo z que antes, por supuesto),
tenemos
(1-z) ~ 1/(1+z)
el que puede también obtenerse de la ecuación anterior
(1 - z)(1 + z) ~ 1
dividiendo ambos lados por (1 + z).
En la sección (34a) donde se calcula la distancia
a punto lagrangiano L1, se hace necesario una aproximación
1/[1-z]3.
Comenzando de (1+z) ~ 1/(1-z)
y elevando ambos lados a sus cubos:
(1+z)3 ~ 1/(1-z)3
Desarrollando el lado izquierdo:
(1 + z)3 = (1+z)(1+z)(1+z) = (1 + 3z
+ 3z2 + z3)
Sin embargo, si z2 y z3
son mucho menores que z, eliminar los términos que los contienen
solo incrementa ligeramente el error, obteniendo
1/(1-z)3 ~ 1 +
3z
Un paso más lejos: El Teorema del Binomio
En forma debida
1/(1-z)3
es (1-z) elevado a -3. Esto sugiere
que más generalmente, para una z pequeña y para cualquier
valor de a
1/(1-z)a ~
1 - az
y de igual forma
1/(1 + z)a ~ 1 + az
(estas son la misma fórmula, para una z positiva y negativa).
De hecho esto es verdadero y a puede ser positiva, negativa
o una fracción. Es a consecuencia de un resultado demostrado por
Newton, también llamado teorema del binomio. Para quien le interese,
esa fórmula enuncia
1/(1 + z)a = 1 + az + [a(a-1)/2] z2
+ [a(a-1)(a-2)/6] z3 + ...
donde el denominador de la fracción que precede a zn
se obtiene multiplicando conjuntamente los números enteros (1,2,3...
n), un número que se designa como n! y al que se llama "factorial
de n"
Si a es un número entero positivo, la secuencia
a,
(a-1), (a-2)... finalmente llega a cero y el término donde
esto ocurre se iguala a cero, al igual que a lo que siga, por contener
el "factorial" cero. La serie de potencias de z finaliza con za
y se obtienen fórmulas como la que calculamos anteriormente para
a=3:
(1 + z)3 = (1 + 3z + 3z2
+ z3) Esos casos del teorema del binomio eran conocidos antes de Newton.
Lo que él mostró es que el teorema también es válido
para valores fraccionarios y negativos de a, para los que
la serie de la derecha va incrementándose sin fin. Si z es
pequeña, esas potencias se convierten rápidamente en muy
pequeñas y no se genera mucho error si se desprecian y se escribe
(para una z de cualquier signo)
1/(1 + z)a ~ 1/(1 + az) ~ 1 - az
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