Operaciones con matrices
Fecha de primera versión: 22-09-01
Fecha de última actualización:
19/04/2010
Suma
Para sumar dos matrices tienen que tener las mismas dimensiones. Para sumar dos matrices se suman los elementos que ocupan las mismas posiciones
Ejemplo:
1 0
-1 0
-1 2
1 -1 1
-2 1 0
+ 1 0
5 = -1
1 5
5 2
-3 0
-7 2
5 -5 -1
La suma de matrices tiene la propiedad conmutativa. A + B = B + A.
Producto de un número por una matriz.
Para multiplicar un numero por una matriz, se multiplica cada elemento de la matriz por el número.
Ejemplo:
1 0
-1
2 0 -2
-2 1 0 x 2 =
-4 2 0
5 2
-3 10
4 -6
Producto de matrices
Para multiplicar dos matrices es indispensable que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.
El producto de matrices no es conmutativo (no es lo mismo A.B que B.A).
El producto de matrices tiene la propiedad asociativa: A . (B . C) = (A . B) . C
Por ejemplo el producto de la matriz 1
2 3
1 2 0
1 0 4
por la matriz
2 1
0 1
1 0
es
5 3
2 3
6 1
5 = 1.2 + 2.0 + 3.1
3 = 1.1 + 2.1 + 3.0
2 = 1.2 + 2.0 + 0.0
3 = 1.1 + 2.1 + 0.0
6 = 1.2 + 0.0 + 4.1
1 = 1.1 + 0.1 + 4.0
Si A y B tienen las dimensiones correctas para que se puedan multiplicar, entonces se cumple:
(A.B) t = B t.A t
El superíndice t significa traspuesta.
Trasposición de matrices
Para trasponer una matriz se convierten las filas en columnas.
Por ejemplo en la matriz 1 2
3
1 2 0
1 0 4
la traspuesta es
1 1 1
2 2 0
3 0 4
Si A es simétrica A = A t
Si A es antisimétrica A = - A t
(A t) t = A
(A + B) t = A t + B t
(nA) t = nA t
(A . B) t = B t . A t
(A t) -1 = (A-1) t
Igualdad
Dos matrices son iguales si sus elementos correspondientes son iguales. aij = bij