Aplicaciones

Fecha de primera versión: 29-09-01
Fecha de última actualización: 19/04/2010

Para que le perdáis el miedo a este concepto os diré que las funciones son un caso particular de las aplicaciones. Las funciones son aplicaciones entre conjuntos de números.

Definición

Sean dos conjuntos A y B. Establezcamos una correspondencia o relación entre los elementos del conjunto A y los elementos del conjunto B. 

Por ejemplo: Sean a1, a2, a3, ... elementos del conjunto A y b1, b2, b3, ... elementos del conjunto B. Supongamos que el elemento a1 esta relacionado con los elementos b1 y b2, que el elemento a2 esta relacionado con el elemento b3 y que a3 esta relacionado con b1

Esta correspondencia entre los elementos de los dos conjuntos puede representarse por un subconjunto del producto cartesiano A x B que se llama grafo de la relación. 

En nuestro ejemplo el grafo sería {(a1,b1), (a1,b2), (a2,b3), (a3,b1)}.

Una relación entre A y B de grafo G es una aplicación de A en B si para cada x perteneciente a A sólo existe un elemento y perteneciente a B tal que el par x,y pertenece a G.

Nuestro ejemplo no es una aplicación porque el elemento a1 está relacionado con dos elementos: b1 y b2.

Al igual que en las funciones, en las aplicaciones existen los conceptos dominio e imagen.

Dominio es el conjunto de elementos de A para los que la aplicación produce una imagen, tal que el par (x,y) pertenece al conjunto G.

Imagen es el conjunto de elementos de B para los que existe un elemento en el conjunto A tal que el par (x,y) pertenece al conjunto G.

Tipos de aplicaciones

Inyectiva: Si ningún elemento de A comparte imagen

Por ejemplo: si una aplicación relaciona a1 con b1 y a2 con b1, no es inyectiva porque dos elementos distintos comparten la misma imagen.  

Sobreyectiva (también se llama suprayectiva, exhaustiva y sobre): Si todos los elementos de B son imagen de alguno de A.

Biyectiva: Si es inyectiva y sobreyectiva.

Composición de aplicaciones

Sea f es una aplicación de A en B y g es una aplicación de B en C. Si la imagen de f está contenida en el dominio de g, entonces se puede definir una aplicación h de A en C de la forma:

h(x) = g[f(x)] para todo x perteneciente al dominio de f.

Aplicación recíproca

Es una aplicación que se representa por f -1 tal que la composición f -1[f(x)] = x.

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