Semigrupos

Supongamos que tenemos un conjunto A y que en ese conjunto definimos una operación (que llamaremos *) sobre los elementos del conjunto, de tal manera que para cualquier par de elementos del conjunto A, el elemento resultante de la operación x*y, también pertenece al conjunto A.

Si la operación * tiene la propiedad asociativa x*(y*z) = (x*y)*z para todos los elementos de A, entonces se dice que A tiene estructura de semigrupo para la operación *.

Esta definición es muy abstracta y se comprende mejor con un ejemplo. Sea A el conjunto de los números enteros (Z), y la operación * sea la suma (+). Repasemos ahora la definición: El conjunto de los números enteros y la suma cumple la propiedad asociativa (dados varios números, podemos sumarlos en cualquier orden), por lo tanto el conjunto de los números enteros y la operación suma tiene estructura de semigrupo.

También tiene estructura de semigrupo el conjunto de los números reales (R) y la operación multiplicación.

Semigrupo conmutativo (o Abeliano)

Si la operación * tiene la propiedad conmutativa x*y = y*x, entonces el semigrupo se llama conmutativo (o abeliano).

Semigrupo con elemento neutro 

Si la operación * tiene elemento neutro x*e = x, entonces el semigrupo se llama semigrupo con elemento neutro.