Ecuaciones diferenciales ordinarias

Fecha de primera versión: 21-00-00
Fecha de última actualización: 19/04/2010

Clasificación

La primera clasificación de las ecuaciones diferenciales se hace utilizando el orden de la ecuación.

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial.

Ecuaciones de primer orden lineales

De variables separadas

Son de la forma P(x) dx + Q(y)dy = 0

Son las más sencillas de integrar. Sólo tenemos que pasar al otro lado del signo igual uno de los sumandos e integrar en los dos lados.

xdx + 2y2dy = 0 xdx = -2y2dy Integrado en los dos lados, nos queda: x2/2 = -2/3y3 + C

Ecuaciones separables

Sea la ecuación diferencial dy/dx = H(x,y). Supongamos que H(x,y) = f(x)/g(y), entonces la ecuación inicial se convierte en:

f(x)dx = g(y)dy que ya podemos integrar.  

Ecuaciones homogéneas

Son aquellas en las que y' es una función homogénea de grado cero de x e y (es decir, el grado de todos los términos es el mismo).

(x2 - y2)dx + 2xydy = 0. Dividiendo por x2 nos queda (1 - y2/x2)dx + 2y/xdy = 0. Haciendo el cambio y/x = u y derivando (y = ux) nos queda y' = u + u'x (1 - u2)dx + 2udy = 0 1 - u2 + 2u(u + u'x) = 0 Operando nos queda u + u'x = (u2 - 1)/(2u) x du + (1 + u2)/(2u)dx = 0 Esta ecuación diferencial es del tipo de variables separadas.

Ecuaciones reducibles a homogéneas

Son aquellas que mediante un cambio de variable se convierten en homogéneas.

Diferenciales exactas

Dada la ecuación diferencial P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. Si se cumple P'y = Q'x la ecuación es una diferencial exacta.

Reducibles a diferencial exacta

Se convierten a diferencial exacta haciendo una transformación.

Ecuación lineal

Son las ecuaciones de la forma y' + X(x)y = F(x)

Ecuación de Bernoulli

Son las ecuaciones de la forma y' + X(x)y = F(x) yn  

Ecuación de Riccati

Son del tipo y' = X1(x) + X2(x)y + X3(x)y2

Ecuaciones de primer orden no lineales

Resolubles en y'

Son de la forma:

a0(x,y) y 'n + a1(x,y) y 'n-1 + a2(x,y) y 'n-2 + ...+ an(x,y) = 0

Resolubles en x

Cuando se puede despejar la x. Obtenemos x = f(y,y') y derivando respecto de x

1 = f'y y' + f'y' y''

haciendo el cambio y' = p e y'' = dp/dx = dp/dy dy/dx = dp/dy p

tenemos una ecuación de primer orden lineal

Resolubles en y

Cuando se puede despejar y. Obtenemos y = f(x,y'). Hacemos y' = p. Entonces y'' = p'

y' = f'x + f'y y''

p = f'x + f'p p'

Que es una ecuación de primer orden y primer grado que puede ser más fácil de integrar que la original.

Ecuación de Lagrange

Son de la forma y = x f(y')  + g(y') donde f(y') no puede ser igual y'.

Se resuelven derivando y llamando y' = p con lo que obtenemos

p = f(p) + [x f'(p) + g'(p)]p' esta ecuación es lineal y se integra tomando x como función de p.                 

Ecuación de Clairaut

Es como la de Lagrange pero con f(y') = y'

y = x y' + g(y')

La solución es y = Cx + g(C)

Ecuaciones de orden superior

Ecuaciones reducibles de orden

Reducción de ecuaciones carentes de términos en y

Son del tipo F(x, y', y'', ... y'n) = 0

Se resuelven reduciéndolas a otras de orden n - 1 haciendo el cambio y' = p 

Ecuaciones sin x

Son del tipo F(y, y', y'', ... y'n) = 0

 

Ecuaciones carentes de x e y

Son del tipo F(y', y'', ... y'n) = 0

 

 

Ecuaciones del tipo y'n = F(y'n-2)

Se reducen a otras de segundo orden haciendo el cambio z = y'n - 2 y quedan de la forma z'' = F(z). Si multiplicamos por z' dx nos queda z'' z' dx = F(z) dz cuyo primer miembro es la diferencial de z'2/2 por lo que integrando obtendremos una ecuación de primer orden de variables separadas.

Ecuaciones lineales en las derivadas, de coeficientes constantes

 

Ecuaciones lineales en las derivadas, de coeficientes variables