Funciones hiperbólicas

Fecha de primera versión: 09-04-98

Fecha de última actualización: 03-06-00

Si construimos diferentes triángulos rectángulos como el de la figura 1, (triángulos cuyo ángulo a sea igual pero con lados de tamaños diferentes) y calculamos la relación entre sus lados, veremos que la relación es independiente del tamaño del triángulo.

A la relación BC/OC se le llama seno (se escribe sen a)

A la relación OB/OC se le llama coseno.

A la relación BC/OB se le llama tangente.

A la relación OC/BC se le llama cosecante (es la inversa del seno).

A la relación OC/OB se le llama secante (es la inversa del coseno).

A la relación OB/BC se le llama cotangente (es la inversa de la tangente).

El área del círculo construido con centro en O y radio OA (que para abreviar llamaremos R) es igual a p R² , luego el área de un sector circular de ángulo 2a será a R² y si tomamos R como la unidad, el área del sector circular de ángulo 2a será a . Llamemos x al área del sector de ángulo 2a (que hemos visto es igual a a).

Entonces el sen a = sen x = BC, cos a = cos x = OB, tan a = tan x = BC/OB

Resulta que la ecuación de una circunferencia de radio 1 (y centro en el origen) es x² + y² = 1 y la ecuación de una hipérbola equilátera de radio 1 (y centro el origen) es x² - y² = 1. Como veis son muy parecidas, por lo que a alguien se le ocurrió definir las funciones seno hiperbólico (sh), coseno hiperbólico (ch) y tangente hiperbólica  de manera similar

Sh a = BC/OA

Ch a = OB/OA

Th a = BC/OB

De la misma manera que en el caso de las funciones trigonométricas habituales, el área sombreada de la hipérbola que se corresponde con un ángulo 2a tomando OA como la unidad, es  a . Llamemos x al área del sector de ángulo 2a (que hemos visto es igual a a).

Entonces el sh a = sh x = BC, ch a = ch x = OB, th a = th x = AD

Pues resulta que por una razón que todavía desconozco las funciones hiperbólicas también se definen así: