Integrales de funciones racionales
Fecha de primera versión: 26-08-01
Fecha de última actualización: 26-08-01
Se trata de integrar funciones de la forma A(x) / B(x), en los que A y B son polinomios.
Si el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el grado del polinomio del denominador, dividimos los polinomios y nos quedará un cociente que es de integración inmediata y un resto.
A(x) / B(x) = C(x) + R(x) / B(x)
Por ejemplo: ò(x3 + 3) / (x + 1) =ò x2 - ò x +ò 1 / (x + 1) = x3/3 - x2/2 + Ln (x + 1).Si el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador, descomponemos el polinomio en factores.
Se pueden dar los siguientes casos:
Todos los factores son distintos y de la forma ax + b
El término x2 - 4 puede descomponerse en (x + 2)(x - 2).
Tenemos que calcular A y B. Operando queda:
Como en el numerador de la primera parte de la igualdad, no hay términos en x, A + B = 0 y por otra parte, 2A - 2B = 1. Resolviendo el sistema de estas dos ecuaciones obtenemos: A = 1/4 y B = - 1/4
Ahora resolver la integral es inmediato.
Los factores son de la forma ax + b pero hay algunos factores iguales.
El denominador se descompone en (x + 1)(x - 1)2.
Operando queda:
y ya se puede integrar.
Todos los factores son distintos y de la forma ax2 + bx + c
El denominador se descompone en (x2 + 1)(x2 + 2)
Operando e igualando los coeficientes de las potencias iguales queda:
A + C = 1
B + D = 1
2A + C = 1
2B + D = 2
Resolviendo este sistema obtendremos los valores de A, B, C y D y ya podemos resolver la integral.
Los factores son de la forma ax2 + bx + c pero hay algunos factores iguales.