Aritmética infinita

Fecha de primera versión: 29-07-01
Fecha de última actualización: 29-07-01

George Cantor fue el fundador de la aritmética infinita.

Consideremos el conjunto de los números naturales. Este conjunto tiene infinitos elementos. El número de elementos (cardinal) de este conjunto se llama alef sub cero y se escribe así:

Podríamos creer que el conjunto de los números pares tiene un cardinal menor que el conjunto de los números naturales, pero esto no es así. Los dos tienen el mismo cardinal. Es fácil de comprender asociando a cada número par un número natural: nunca se agotarían los números.

Lo mismo podríamos hacer con los números impares o los números primos.

En estos casos la intuición nos dice que debería haber menos números (pares, impares, primos) que números naturales, pero ya hemos visto que no es así.

Veamos ahora el caso contrario. Parecería lógico pensar que hay más números racionales que números naturales pero tampoco es así. El cardinal del conjunto de los números racionales es igual que el de los números naturales.

Si disponemos los números racionales en esta forma:

podemos recorrer TODOS los números racionales partiendo del 0/1 y haciendo un recorrido en espiral (0/1, 0/2, 1/2, 1/1, 1/-1, 0/-1, 1/-1, 1/1, 1/2, 1/3,...). Entonces podemos asignar un número natural a cada número racional. Por lo tanto, el cardinal de los números racionales es el mismo que el cardinal de los números naturales.

Animados por los resultados anteriores podríamos pensar que los números reales también tienen el mismo cardinal, pero nos equivocaríamos.

Representemos los números reales de esta forma: A,a₁a₂a₃... donde A es un número natural y a₁, a₂, a₃, ... es un número comprendido entre 0 y 9.

Asociemos el 0 al número A,a₁a₂a₃...
Asociemos el 1 al número B,b₁b₂b₃...
Asociemos el 2 al número C,c₁c₂c₃...
.......................................................

y así sucesivamente. Supuestamente todos los números naturales estarían a la izquierda y todos los números reales a la derecha.

Construyamos un número Z,z₁z₂z₃... de forma que z₁ sea distinto de a₁, z₂ distinto de a₂ y así sucesivamente. el número así construido es distinto de todos los anteriores, por lo tanto, en la lista anterior no están todos los números reales, luego el conjunto de los números reales no es numerable.

Al cardinal de los números reales se le llama c.