Divisibilidad
Fecha de primera versión: 13-12-98
Fecha de última actualización: 07-04-00
Se dice que un número es divisible por otro cuando el resto de su división es cero.
Criterios de divisibilidad:
Todos los criterios de divisibilidad se demuestran partiendo de que un número (anan-1...a1a0) se puede representar como:
an10n + an-110n -1 + ...+ a110 + a0
y teniendo en cuenta los restos de las potencias de 10.
Representemos la operación de calcular el resto de un número a al dividirlo por otro b como a mod b.
Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 si termina en cifra par.
(an10n + an-110n -1 + ...+ a110 + a0) mod 2 = 0
an10n mod 2 + an-110n -1 mod 2 + ...+ a110 mod 2 + a0 mod 2 =
an mod 2 10n mod 2 + an-1 mod 2 10n -1 mod 2 + ...+ a1 mod 2 10 mod 2 + a0 mod 2
pero el resto de dividir cualquier potencia de 10 por 2 es cero, por lo tanto, la expresión anterior se convierte en:
0 + 0 + ... + 0 + a0 mod 2.
Esto quiere decir que para que sea divisible por dos sólo tiene que ser divisible la última cifra.
Divisibilidad por 3:
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.
Vamos a demostrar el criterio de divisibilidad por 3.
(an10n + an-110n -1 + ...+ a110 + a0) mod 3 =
an10n mod 3 + an-110n -1 mod 3 + ...+ a110 mod 3 + a0 mod 3 =
an mod 3 10n mod 3 + an-1 mod 3 10n -1 mod 3 + ...+ a1 mod 3 10 mod 3 + a0 mod 3
pero el resto de dividir cualquier potencia de 10 por 3 es uno, por lo tanto, la expresión anterior se convierte en:
(an + an-1 + ...+ a1 + a0) mod 3 = 0
Esto quiere decir que para que sea divisible por tres la suma de sus cifras tiene que ser divisible por tres.
Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
Vamos a demostrar el criterio de divisibilidad por 5.
(an10n + an-110n -1 + ...+ a110 + a0) mod 5 =
an10n mod 5 + an-110n -1 mod 5 + ...+ a110 mod 5 + a0 mod 5 =
an mod 5 10n mod 5 + an-1 mod 5 10n-1 mod 5 + ...+ a1 mod 5 10 mod 5 + a0 mod 5
pero el resto de dividir cualquier potencia de 10 por 5 es cero, por lo tanto, la expresión anterior se convierte en:
a0 mod 5 = 0
Esto quiere decir que para que sea divisible por cinco la última cifra tieen ques er divisible por 5.
Divisibilidad por 7:
Un número es divisible por 7 si restando a las decenas del número el duplo de las unidades, el número resultante es divisible por 7.
Pondré un ejemplo para aclararlo: Sea el número 140. Decenas: 14, duplo de las unidades 2.0 = 0. 14-0 = 14 que es divisible por 7, por lo tanto 140 es divisible por 7.
Otro método: Un número es divisible por 7 si multiplicando las unidades por 1, las decenas por 3, las centenas por 2, las unidades de millar por -1, las decenas de millar por -3, las centenas de millar por -2 y así sucesivamente, alternando los signos, y sumando los resultados el número resultante es divisible por 7
Vamos a demostrar el criterio de divisibilidad por 7.
(an10n + an-110n-1 + ...+ a110 + a0) mod 7 =
an10n mod 7 + an-110n-1 mod 7 + ...+ a110 mod 7 + a0 mod 7 =
an mod 7 10n mod 7 + an-1mod 7 10n-1 mod 7 + ...+ a1 mod 7 10 mod 7 + a0 mod 7
100 mod 7 = 1
101 mod 7 = 3
102 mod 7 = 2
103 mod 7 = 6 (por defecto sería -1)
104 mod 7 = 4 (por defecto sería -3)
105 mod 7 = 5 (por defecto sería -2)
A partir de aquí ya se repiten los restos. Luego los restos serían: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, -3, -2, etc… lo que nos permite hacer una regla muy práctica de la divisibilidad por 7 (luego veremos que también sirve para 13 e incluso para 11, que tienen periodos de 3 restos alternativamente con unos signos luego con los contrarios.
Así, supongamos el número: 6874259642754. Según la teoría de las clases residuales mod 7 con sus operaciones, tendríamos que multiplicar la cifra de las unidades por 1, la de las decenas por 3, la de las centenas por 2, la de las unidades de mil por 6 (o por –1), la de las decenas de mil por 4 (o por –3), la de las centenas de mil, por 5 (o por –2), y así sucesivamente.
¿No resultaría práctico disponer el número dividido en grupos de tres cifras y considerar alternativamente positivas las cifras del primero, negativas las del segundo, positivas las del tercero, etc. Y así multiplicaríamos:
La suma algebraica de las unidades de cada grupo, por 1,
La suma algebraica de las decenas de cada grupo, por 3,
y la suma algebraica de las centenas de cada grupo, por 2? Esta suma módulo 7 sería el resto.
Veamos:
| + | - | + | - | + |
| 6 | 874 | 259 | 642 | 754 |
Ahora: 4 – 2 + 9 – 4 + 6 = 13 que mod 7 sería –1 -1 · 1 = -1
5 - 4 + 5 - 7 = 1 que mod 7 sería 1 -1 · 3 = -3
7 – 6 + 2 – 8 = -5 que por exceso sería 2 2 · 2 = 4 cuya suma es cero y por tanto divisible por 7.
Esto se simplifica sobre la marcha si al hacer mentalmente las sumas eliminamos 7 cada vez que queramos y nos convenga para que resulten los números más pequeños.
Esta es la razón por la que un número cualquiera de tres cifras como 649 ampliado por repetición de las mismas cifras 649649, siempre será divisible por 7, 11, y 13.
Lo mismo que un número de cuatro cifras 7538 ampliado por repetición de las mismas cifras, 75385387, siempre será divisible por 73 y por 137. Basta ver los restos potenciales de
73 (1, 10, 27,-22, -1, -10, -27, 22, …. ) y 137 (1, 10, -37, 41, -1, -10, 37, -41, ….)
Divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia de la suma de las cifras en posición par y la de las cifras en posición impar es cero o múltiplo de 11.
Vamos a demostrar el criterio de divisibilidad por 11.
(an10n + an-110n -1 + ...+ a110 + a0) mod 11 =
an10n mod 11 + an-110n -1 mod 11+ ...+ a110 mod 11 + a0 mod 11 =
an mod 11 10n mod 11 + an-1 mod 11 10n -1 mod 11 + ...+ a1 mod 11 10 mod 11 + a0 mod 11
El resto de las potencias de 10 es 1 para las potencias pares y 10 (o lo que es lo mismo -1) para las potencias impares.
(a0 + a2 + a4 +...) 1 + (a1 + a3 + a5 + ...)(-1) = 0
Por lo tanto la suma de las cifras en posición par menos las cifras en posición impar debe ser cero.