Progresiones aritméticas

Fecha de primera versión: Marzo 1997
Fecha de última actualización: 19/04/2010

Progresión aritmética

Es una sucesión de números en la que cada término, excepto el primero, se obtiene sumando al anterior otro número fijo. Este número fijo se llama diferencia.

Es fácil demostrar que el término general es:

an = a1 + d(n-1)

y la suma de n términos es:

S = (a1 + an) . n / 2

Mi padre me ha contado esta historia: En un pequeño pueblo de Alemania (Brunswick), un profesor castigaba a sus alumnos haciéndoles sumar números consecutivos (por ejemplo sumar los 100 primeros números naturales). Era un duro castigo, pues había que hacer muchas sumas (1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15,...) y era fácil equivocarse. Pero... una vez, uno de los niños le dio la solución en un tiempo sorprendente, el profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100= 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.

Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüs. Fue uno de los más grandes matemáticos.

Las progresiones aritméticas se suelen representar por : (dos puntos).

Interpolación aritmética

Interpolar n términos entre dos números dados, p y q, consiste en la obtención de n términos situados entre p y q, tales que formen una progresión aritmética de extremos p y q.

Entonces, para interpolar, tenemos que calcular la razón de la progresión aritmética. Como la progresión aritmética resultante tiene n + 2 términos y sus extremos son p y q, la razón será d = (q - p)/(n+1).