Suma de potencias de números enteros

Fecha de primera versión: 03-02-02
Fecha de última actualización: 19/04/2010

1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) = n(n - 1) / 2 = n2 / 2 - n / 2
12 + 22 + 32 + ... + (n - 1)2 = n(n - 1)(2n - 1) / 6 = n3 / 3 - n2 / 2 + n / 6
13 + 23 + 33 + ... + (n - 1)3 = n2(n - 1)2 / 4 = n4/4 - n3/2 + n2/4

Observad que en la suma de las potencias, el polinomio resultante tiene potencia n + 1.

Jacob Bernoulli dedujo la fórmula general.

1n + 2n + 3n + ... + (n - 1)n = 1/n [ Bk + 1 (n) - Bk + 1(0) ]

Siendo Bk + 1 (n) el polinomio de Bernoulli de grado k + 1.

Bk(n) = nk + k B1 nk - 1 + k (k - 1) / 2! B2nk - 2 + k (k - 1) (k - 2) / 3! B3nk - 3 + ... + k Bk -1 n + Bk 

Siendo B1, B2, B3, ... los números de Bernoulli, cuya fórmula es:

Bk -1 = - 1/k [1 + kB1 + k (k - 1) / 2! B2 + ... + k (k - 1) / 2! Bk - 2]

n Bn
1 -1 / 2
2 1 / 6
4 -1 / 30
6 1 / 42
8 -1 / 30
10 5 / 66
12 -694 / 2730
14 7/6
16 -3617 / 510