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Geometría

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Triángulo:

Es un poligono que tiene tres lados y tres ángulos.

El punto donde se unen dos lados se llama vértice.

La suma de dos lados de un triángulo siempre es mayor que el tercero.

La suma de los ángulos de un triángulo es 180º.

Es muy frecuente clasificar los triángulos por los lados (equilátero, si tiene los tres lados iguales, isosceles, dos lados iguales y escaleno, ningun lado igual) y por los ángulos (rectángulo si tiene un ángulo de 90º, acutángulo si todos los angulos son menores de 90º y obtusángulo si tiene un ángulo mayor de 90º)

Mediana

Es la recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. Hay tres medianas y las tres se cortan en un punto que se llama centro de gravedad (o baricentro) del triangulo.

Bisectriz

Es la recta que que divide el ángulo en dos partes iguales. Hay tres bisectrices y se cortan en un punto llamado incentro. Este punto tiene la particularidad de que haciendo centro en él, podemos dibujar una circunferencia interior al triángulo y que es tangente a los tres lados del triangulo.

Mediatriz

Es la recta perpendicular en el punto medio de un segmento. Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. Haciendo centro en este punto, podemos trazar una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

Altura

Es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto. Hay tres alturas y se cortan en un punto llamado ortocentro.

El triángulo más famoso es es triángulo rectángulo. El lado mayor de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa y los pequeños, catetos. Este triángulo tiene una propiedad muy importante: Si construimos unos cuadrados en sus lados, la suma del área de los cuadrados construidos en los catetos es igual al área del cuadrado construido en la hipotenusa (escrito de forma matemática: a2 + b2 =c2).

Superficie de un triángulo:

La fórmula que todos sabemos de la superficie de un triángulo es S = (b.h)/2

Hay otra fórmula menos conocida, la fómula de Herón:

 

siendo p = (a + b + c)/2

En el plano:

Poligonos: Son figuras geométricas cerradas, formadas por segmentos de recta.

Si todos los lados y todos los ángulos del poligono son iguales el poligono se llama poligono regular.

Los polígonos mas importantes son, el triángulo y los cuadrilateros.

 

Cuadrilateros: Son poligonos que tienen cuatro lados.

Paralelogramos: Son cuadrilateros que tienen sus lados paralelos dos a dos. Son paralelogramos el rectángulo, el cuadrado y el rombo.

Trapecio: es un cuadrilatero que tiene dos lados paralelos.

 

 

Circunferencia: Es una linea cerrada que tiene la propiedad de que todos los puntos de esa linea estan a la misma distancia de un punto fijo (centro).

El segmento de recta que va desde el centro hasta la circunferencia se llama radio. El segmento de recta que va desde un punto de la circunferencia a otro pasando por el centro se llama diámetro.

Las circunferencias tienen una propiedad muy notable: Si medimos la longitud de una circunferencia y la dividimos por su diámetro siempre da el mismo número. A ese número le han dado el nombre de p.

La longitud de la circunferencia es 2 pr.

La superficie limitada por la circunferencia se llama círculo. El área del círculo es p r2.

La ecuación de una circunferencia de centro el origen de coordenadas es: x2 + y2 =R2.

Elipse: Es una linea cerrada que tiene la propiedad de que la suma de las distancias a dos puntos dados (focos) es constante.

El segmento de recta que une los dos puntos mas alejados se llama eje mayor (=2a).

El segmento de recta que une los dos puntos menos alejados se llama eje menor (=2b).

Centro es el punto de corte de los ejes.

Vértices son los cuatro puntos donde los ejes cortan a la elipse.

Focos son dos puntos, situados en el eje mayor, a igual distancia del centro y que cumplen la condición de que la suma de las distancias desde esos puntos a cualquier punto de la elipse, es constante (=2a).

El área de la superficie encerrada por la elipse es p ab.

La ecuación de una elipse es: x2/a2 + y2/b2 = 1.

En el espacio:

Poliedros: Son cuerpos con todas sus caras planas:

Prisma: Es un poliedro cuyas bases son poligonos iguales y las caras paralelogramos.

El segmento común a dos caras se llama arista.

Vértice es el punto de unión de dos aristas.

El prisma es recto si las aristas son perpendiculares a la base.

El prisma es regular si es recto y sus bases son ppligonos regulares.

El volumen de un prisma es el área de la base por la altura (V = A.h)

Paralelepipedo: Es un prisma cuyas pases son paralelogramos.

Piramide: Es un poliedro cuya base es un polígono y las caras son triángulos.

Una piramide es regular si la base es un polígono regular y la altura pasa por el centro.

El volumen de una piramide es 1/3 A.h.

 

Una piramide cuyas 4 caras son un triangulo se llama tetraedro.

Un tetraedro regular es un poliedro regular formado por 4 triángulos equiláteros iguales.

Cuerpos con alguna cara curva:

Cilindro: Es el cuerpo que se genera cuando un segmento de recta se desplaza apoyandose en dos circunferencias iguales y paralelas.

El volumen de un cilindro es el área de la base por la altura (V = A.h)

 

 

Cono: Es el cuerpo que se genera cuando un segmento de recta se desplaza apoyandose en una circunferencia y en un punto (situado en un palno distinto a la circunferencia).

El volumen de cono es 1/3 A.h.

 

 

Esfera: Es la superficie que tiene la propiedad de que todos sus puntos estan a la misma distancia (radio) de un punto (centro).

El área de la esfera es 4p r2.

El volumen de la esfera es 4/3p r3.

La ecuación de una esfera es: x2 + y2 + z2 = r2

Nombres de Polígonos
Nombre Lados Ángulos
Triángulo 3 3
Cuadrilátero 4 4
Pentágono 5 5
Hexágono 6 6
Heptágono 7 7
Octógono 8 8
Eneágono 9 9
Decágono 10 10
Identificar la clase de triángulo según sus lados

Clases de triángulos según sus lados

  • Un triángulo RECTANGULO tiene un ángulo de 90o

  • Un triángulo OBTUSO tiene un ángulo mayor a 90o.

  • Un triángulo AGUDO tiene todos los ángulos menores a 90o.

Identificar triángulos según sus lados

Clases de triángulos según sus lados

  • Un triángulo EQUILATERO tiene los tres lados del mismo largo.

  • Un triángulo ISOSCELES tiene dos lados con el mismo largo.

  • Un triángulo ESCALENO tiene los tres lados de largos diferentes.

Encontrar el tercer ángulo de un triángulo

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180o. Para encontrar el tercer ángulo de un triángulo si conoces los otros dos, debes restarle a 180o la cantidad de grados de los otros dos ángulos..

Ejemplo: ¿Cuántos grados tiene el tercer ángulo de un triángulo cuyos otros dos ángulos son 40o y 65o? Respuesta: 180o - 40o -65o = 75o

Encontrar el cuarto ángulo de un cuadrilátero

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360o. Para averiguar el cuarto ángulo de un cuadrilátero si conocemos los otros tres ángulos debes restar a 360o la cantidad de grados de los otros tres ángulos.

Ejemplo: ¿Cuántos grados hay en el cuarto ángulo de un cuadrilátero cuyos otros tres ángulos son 80o and 110o y 95o? La respuesta: 360o - 80o - 110o - 95o = 75o

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus grados es igual a 90º.o.
Si conocemos un ángulo, su ángulo complementario se puede averiguar restando la medida del mismo a 90o.

Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo complementario de 43o?
Solución: 90o  -  43o  =  47o

Ángulos complementarios o suplementarios

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus ángulos es igual a 90o.
Si conocemos un ángulo, su ángulo complementario se puede encontrar restando la medida del mismo a 90o.

Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo complementario de 43o?
Solución: 90o  -  43o  =  47o

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus grados es igual a 180o.
Si conocemos un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando la medida del mismo a 180o.

Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo suplementario de 143o?
Solución: 180o  -  143o  =  37
o

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus grados es igual a 180o.
Si conocemos un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando la medida del mismo a 180o.

Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo suplementario de 143o?
Solución: 180o  -  143o  =  37o

Calcular la superficie de un cuadrado

Como averiguar la superficie de un cuadrado:

  • La superficie de un cuadrado se puede averiguar multiplicando la base por si misma. Es similar a la superficie de un rectángulo pero la base tiene el mismo largo que la altura.

  • Si un cuadrado tiene una base de 6 Cm, su superficie es 6 X 6= 36 Cm cuadrados.

Calcular la superficie de un rectángulo

Como averiguar la superficie de un rectángulo:

  • La superficie de un rectángulo se puede averiguar multiplicando la Calcular la superficie de un rectángulo por la altura.

  • Si la base de un rectángulo mide 6 metros y la altura 4 metros, su superficie es 6*4=24 metros cuadradas.

Calcula la superficie de un paralelogramo

Como averiguar la superficie de un paralelogramo:

  • La superficie de un paralelogramo se puede averiguar multiplicando la base por la altura.

  • Si la base de un paralelogramo mide 6 pulgadas y la altura 4 metros, su superficie es 6 X 4 = 24 metros cuadrados.

Calcular la superficie del trapeizoide

Un trapeziode es un cuadrilátero (tiene 4 lados) y tiene solo un par de lados paralelos.

Como determinar la superficie de un trapezoide:

  • Sumar los largos de los 2 lados paralelos

  • Divide por 2 para sacar el largo promedio de los lados paralelos.

  • Multiplica esto por la altura (distancia entre los lados paralelos)

Calcular la superficie de un triángulo

Como averiguar la superficie del triángulo:

  • La superficie del triángulo se puede averiguar multiplicando la base por una vez y media la altura.

  • Si un triángulo tiene una base de 6 metros de largo y una altura de 4 metros, su superficie es 6 X 2= 12 metros cuadrados.

Encontrar la superficie de un círculo

Como encotrar la superficie de un círculo:

  • La superficie de un círculo se puede averiguar multiplicando pi (p =3.14) por el radio al cuadrado.

  • Si un círculo tiene un radio de 4, su superficie es 3.14 X 4 X 4= 50.24.

  • Si conoces el diámetro, el radio es la mitad de su largo.

Calcular el perímetro de un cuadrado

El perímetro de un cuadrado es la distancia alrededor del cuadrado. Un cuadrado tiene cuatro lados de igual largo. La fórmula para encontrar el perímetro de un cuadrado es 4 X (Largo de un Lado).

Calcular el perímetro del rectángulo

El perímetro de un rectángulo es la distancia alrededor del rectángulo. Un rectángulo tiene cuatro lados cuyos lados opuestos son congruentes. La fórmula para averiguar el perímetro es Lado A + Lado B + Lado A + Lado B. Esto también se podría enunciar como 2 X lado A + 2 X lado B o 2 X (Lado A + Lado B)

Calcular el perímetro de un paralelogramo

El perímetro de un paralelogramo es la distancia alrededor del paralelogramo. Un paralelogramo tiene cuatro lados cuyos lados opuestos son congruentes. La fórmula para averiguar el perímetro es Lado A + Lado B + Lado A + Lado B. Esto también se podría enunciar como 2 x Lado A + 2 X Lado B o 2 X (Lado A + Lado B).

Calcular la circunferencia de un círculo

La circunferencia de un círculo es la distancia alrededor del círculo. Se podría llamar perímetro del círculo.

Como encontrar la circunferencia de un círculo:

  • La circunferencia de un círculo se puede averiguar multiplicando pi ( p= 3.14) por el díametro del círculo.

  • Si un círculo tiene un diámetro de 4, su circuferencia es 3.14 X 4=12.56

  • Si conoces el radio, el diámetro es dos veces su largo.

Calcular la superficie de un cubo

Para calcular la superficie de un cubo, encuentra la superficie de una cara y multiplícala por 6. La superficie de cualquier lado es el largo de una cara al cuadrado.

Ejemplo: la superficie de un cubo cuya cara mide 4 = 4 X 4 X 6 = 96

Superficie de un prisma rectangular

Un prisma rectangular tiene 2 extremos y cuatro caras. Las caras opuestas tienen la misma superficie. La superficie es la suma de las superficies de las seis caras.

Como encontrar la superficie de un prisma rectangular:

  • Encuentra la superficie de dos caras (largo X Altura) X 2 lados

  • Encuentra la superficie de los lados adyacentes (ancho X altura) X 2 lados

  • Encuentra la superficie de los extremos (largo*ancho) *2 extremos

  • Suma las tres superficies y encuentra la superficie total.

  • Ejemplo: La superficie de un prisma rectangular de 5 cm de largo, 3 cm de ancho y 3 cm de alto = 5 X 2 X 2 + 3 X 2 X 2 + 5 X 3 X 2 = 20 + 12 + 30 = 62 cm2.

Superficie de cilindros.

Para encontrar la superficie de un cilindro suma la superficie de cada extremo más la superficie del lado. La superficie de cada extremo es p r2. Hay dos extremos por lo tanto su superficie combinada es 2 p r2. La superficie del lado es la circunferencia por la altura o 2 p r a.

La formula completa para la superficie de un cilindro es 2 p r2 + 2 p r a

Volumen de un cubo

El volumen de un cubo es (largo de la cara)3.

Volumen de un prisma rectangular

El volumen de un prisma rectangular se puede averiguar con la siguiente formula:
volumen = largo * ancho * altura

Volumen de un Prisma triangular

El volumen de un prisma triangular se puede averiguar con la siguiente fórmula:

volumen = ½  X largo X ancho X altura

Volumen de un cono

El volumen de un cono es 1/3 (Superficie de la base)(altura)= 1/3 p r2 a

Volumen de un cilindro

El volumen de un cilindro es igual a (superficie de la base) X altura = p r2 h

Volumen de una esfera

El volumen de una esfera se puede averiguar con la siguiente fórmula:

volumen = 4/3 p r3

Volumen de una pirámide

Una pirámide tiene una base y caras triangulares que se levantan para unirse en un mismo vértice. La base puede ser un polígono tal como un cuadrado, un rectángulo, un triángulo, etc. La formula general para el volumen de una pirámide es:

Superficie de la base X Altura X 1/3

El volumen de una pirámide con base rectangular es igual a:

Largo de base X Ancho de base X Altura X 1/3

 

 

Fundación Educativa Héctor A. García