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RELACIONES y FUNCIONES
| Hay casos en que no todos
los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos
responden a una condición dada. Se llama relación
entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano
A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios
o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación
entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades
fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: propiedad
reflexiva,
simétrica
y transitiva. |
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Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del
conjunto de partida le corresponde sólo un elemento del conjunto
de llegada. |
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Definición. Una
relación es un conjunto de parejas ordenadas.
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A
en B sí y sólo sí R es subconjunto de A x B.
Si R Ì A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente
una relación en A.
0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0 Ì A x B y A x B Ì A
x B.
Si (x,y) Î R se escribe x R y y se lee "x está en relación con y".
Ejemplo 1:
Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.
R1
= {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.
R2
= {(3, 8)} es una relación de A en B.
R3 = {(x, y) / x Î A Ù y Î
B Ù x > y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.
R4 = {(x, y) / x Î A Ù y Î
B Ù x + y £ 7}
= {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}.
R5
= {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A.
R6
= {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A.
R7
= {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y
tampoco de B en A.
R8 = {(x, y) / x Î A , y Î
B, x - y = 0} = 0.
Dominio de una Relación.
Definición. Sea R una relación. Se llama
Dominio de R y se denota por
D(R) al conjunto
formado por todas las primeras componentes de las parejas ordenadas
que pertenecen a R. Por lo tanto:
D(R) = { x / ($ y) (x, y) Î R}
En consecuencia,
x Î D(R) Û ($ y)((x, y) Î R).
x Ï D(R) Û (" y)((x, y) Ï R).
Rango de una Relación.
Definición. Sea R
una relación. Se llama Rango de R y se denota por g(R) al
conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas
ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:
g (R) = { y / ($ x) (x,
y) Î R}
En consecuencia,
y Î g (R) Û ($ x)((x, y) Î R).
y Ï g (R) Û (" x)((x, y) Ï R).
Ejemplo 2. En las relaciones del
ejemplo 1 se tiene:
D(R1) = {3, 1, 5} g (R1)
= {2, 8, 4}
D(R2) = {3} g (R2)
= {8}
D(R3) = {3, 5} g (R3)
= {2, 4}
D(R4) = {3, 1, 5} g (R4)
= {2, 4, 6}
D(R5) = {3, 1} g (R5)
= {5, 3}
D(R6) = {2, 6} g (R6)
= {3, 1}.
Ejemplo 3. Sea S = {(x, y) / x Î RÙy Î
RÙy < x}.
El
siguiente gráfico es un representación cartesiana de S. La recta y =
x no hace parte de S.
Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación:
"x
es menor que y"
Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}.
D(R) = {1, 2}, g (R) = { 2, 3}.
Teorema.
Sea R una relación, A y B dos conjuntos. R es una relación de A en B
sí y sólo sí
D(R)
Ì A y g (R) Ì B.
Relación inversa. Definición. Sea R una
relación. Entonces la relación {(y, x) / (x, y) Î R} se denomina
relación inversa y se denota R-1.
En consecuencia,
- (y, x) Î R-1
Û (x, y) Î R.
- (y, x) Ï R-1
Û (x, y) Ï R.
- Si R es una relación de
A en B, entonces R-1 es una relación de B en A.
Relación Idéntica.
Definición. Sea A un conjunto. La relación dada por: {(x, y)
/ x Î A Ù y = x} se denomina relación idéntica en A y se
designa IA:
En
consecuencia:
(x, y) Î IA Û x Î A Ù y =
x.
(x, y) Ï IA Û x Ï A Ú y ¹
x.
Ejemplo 7.
IR
es la relación idéntica en los reales, es decir el conjunto de todos
los pares ordenados de números reales que tienen ordenada y abscisa
iguales. Su gráfica es la recta bisectriz del primero al tercer
cuadrante.
Relación reflexiva en un
conjunto.
Definición. R es una relación reflexiva en un conjunto
A sí y sólo sí R es una relación en A y todo elemento de A está
relacionado con sigo mismo. Es decir R es reflexiva en A si y sólo
sí,
R Ì A x A Ù (" x Î A) ((x, x) Î R).
R no es reflexiva en A si y sólo si,
R Ë A x B Ú ($ x Î A) ((x, x) Ï R).
Ejemplo 8.
Sea
A = {1, 3, 5}.
R1
= {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es
reflexiva en A.
R2
= {(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)} no es reflexiva en A.
Ejemplo 9.
IA
es reflexiva en A cualquiera sea A ¹ 0.
Ejemplo 10.
A2 es reflexiva en A
cualquiera sea A ¹ 0.
Teorema.
R es reflexiva en A sí y sólo sí IA Ì R.
Relación simétrica en un conjunto.
Definición.
R es una relación simétrica en A sí y sólo sí R es relación en A y
cualesquiera sean los elementos x,y de A se verifica que si x R y
entonces y R x. En consecuencia:
- R es simétrica en A Û R
Ì A x A Ù (" x)(" y) ( x R y Þ y R x).
- R no es simétrica en A
Û R Ë A x A Ú ($ x)($ y) (x R y Ù y
 x).
Ejemplo 11.
Las relaciones IA y A2 son simétricas en A
cualquiera sea A.
Ejemplo 12
Sea
A = {3, 4, 2} entonces:
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2),
(4, 4)} es simétrica en A.
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}
no es simétrica en A.
Ejemplo 13.
La relación T = {(x, y) / x Î
N, y Î NÙx
| y} donde la
expresión "x| y"
significa x divide a y no es simétrica en N puesto que si x|
y no necesariamente y| x.
Teorema. R es
simétrica en A sí y sólo sí R = R-1.
Relación antisimétrica en un
conjunto.
Definición. R es una relación
antisimétrica en A sí y sólo sí R es una relación en A y
cualesquiera que sean x,y de A se verifica que:
Sí x R y Ù y R x entonces x = y.
En
consecuencia:
- R es antisimétrica en A equivale a decir:
R Ì A x A Ù (" x)(" y)
( x R y Ù y R x Þ x = y)
- R no es antisimétrica en A equivale a decir:
R Ë A x A Ú ($ x)($ y)
( x R y Ù y R x Ù x ¹ y)
Ejemplo 14.
I
A es antisimétrica en A.
Ejemplo 15.
Sea
A = {2, 4, 6} entonces:
R =
{(2, 2), (4, 4)} es antisimétrica en A.
S =
{(2, 4)} es antisimétrica en A.
T
={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)} no es antisimétrica en A
Ejemplo 16.
La relación T = {(x, y) / x Î
N, y Î N Ù
x|y} es antisimétrica en N,
puesto que x|y Ù y|x implica x = y.
Teorema.
R es antisimétrica en A
Û R · R-1
Ì IA.
Relación transitiva.
R es una relación transitiva en A sí y sólo sí R es una relación en
A y cualquiera sean x, y, z pertenecientes a A se verifica que:
Sí x R y Ù y R z, entonces x R z.
En
consecuencia:
- R es transitiva en A equivale a decir:
R Ì A x A Ù (" x)("
y)(" z) ( x R y Ù y R z Þ x R z)
- R no es transitiva en A equivale a decir:
R Ë A x A Ú ($ x)( $
y)($ z) ( x R y Ù y R z Ù x z).
Ejemplo 17.
I
A es transitiva en A.
Ejemplo 18.
Sea
= {2, 4, 6, 3} entonces:
R =
{(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es
transitiva en A.
S =
{(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)} no es transitiva en
A.
Ejemplo 19.
La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î
N Ù x |y}
es transitiva en N.
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