Problemas Matemáticos Resueltos

Prácticas para el GED
  Solución al problema 1
Para ganar siempre Juan debe decir el 27. Para lograr esto necesita antes haber dicho el 22, para esto es necesario haber dicho el 17, etc.

Solución al problema 2
1 ya que las alturas deben ser iguales.

 

Solución al problema 1
Sean esq = suma de las esquinas; cen = suma de los cuadros centrales y res = suma del resto de los cuadrados.

Entonces sumando las 2 diagonales tenemos
esq + cen = 2

Sumando las dos filas centrales y las dos columnas centrales tenemos res + 2cen = 4

Sumando los bordes del cuadrado tenemos
2esq + res = 4

De las dos últimas igualdades concluimos que esq = cen y de la primera
esq = cen = 1
  Solución al problema 2
Para formar cuadrados tienen que tener los mismos centímetros de ancho y de largo. El primer cuadrado sería de 3 X 2 = 6 de largo. El que sigue de 3 X 4 = 12 y así sucesivamente.

Lados de 3 cm 2 4 6 8 10
Lados de 2 cm 3 6 9 12 15
Total de rect. 6 24 54 96 150

Lados de 3 cm 12 14 16 18
Lados de 2 cm 18 21 24 27
Total de rect. 216 294 384 486

Si sumamos hasta aquí el total de rectángulos, tenemos 6 + 24 + 54 + 96 + 150 + 216 + 294 + 384 + 486 = 1710 rectángulos.

El próximo sería de 20 X 3 por 30 X 2 cm, un total de 600 rectángulos y 1710 + 600 = 2310, lo que se pasa de 1998. Quiere decir que podemos tener 9 cuadrados diferentes al mismo tiempo.
Solución al problema 1
Los valores no pueden ser divisores de 18 o sea, no pueden ser 1, 2, 3, 6, 9, 18. Sin embargo tienen que ser números pequeños, porque si no, no se cumpliría que sólo 15 precios no se pueden formar. El menor valor posible entonces es 4 pero.

4 y 5 no se puede, porque 4 + 4 + 5 + 5 = 18,
4 y 7 no se puede, porque 4 + 7 + 7 = 18,
4 y 8 no se puede, porque no da los impares,
4 y 10 no se puede, porque 4 + 4 + 10 = 18.

Así que el menor valor posible del segundo billete será 11. Ya que con 4 y 11 las cantidades que no se pueden formar son: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 13, 14, 17, 18, 21, 25, 29.

Para cantidades mayores de 44 todas se pueden formar.


  Solución al problema 2
a) Podemos ir formando bloques de 4 unos de la siguiente manera: De cuatro ceros, elegimos el segundo, entonces el tercero y el primero se convierten en unos 0 0 0 0 ® 1 0 1 0. Ahora elegimos el segundo 1 y los ceros se convierten en unos 1 0 1 0 ® 1 1 1 1. Como 1996 es divisible por cuatro, entonces los 1996 ceros los convertimos en unos aplicando sucesivamente estas operaciones.

b) Llamemos n al número de ceros que hay en la circunferencia. Originalmente n es 1997, es decir es impar. Es fácil comprobar que con cualquiera de las operaciones que hagamos ocurre que: o el número de ceros no cambia, o aumenta en dos o disminuye en dos. De esta forma la paridad de n no se modifica, por lo tanto siempre será impar y por lo tanto nunca podrá ser cero.