(-3a2 - 4a + 2) + -(5a3 + 2a - 6)
(-3a2 - 4a + 2) + ( -5a3 - 2a + 6)
-5a3 + -3a2 + -4a + -2a + 2 + 6
-5a3 - 3a2 - 6a + 8
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Módulo de Polinomios
Escrito por: Dra. Luz M.
Rivera
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Expresiones algebraicas son formadas mediante el uso de constantes, variables y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, uso de exponentes y buscando raices.
Algunos ejemplos son:
3x2 + 5x -
3
(3x - y) 3
2 + x
a + b - 5
4 + y
_ 1_
x - 9
Una expresión algebraica que involucra solamente operaciones de suma, resta, multiplicación y el elevar a potencias de números naturales son variables ( las letras) y constantes( números solitos) se llama polinomios. Algunos ejemplos son:
5a + b 3x3 - 2x + 5
2x - 5y 9x2 - 8
x2
5x4 - 3x3 + x2 - x + 5
En un polinomio, la variable no
puede aparecer en el denominador, como exponente ni dentro de
un radical.
Un término es
una expresión que está separada por los signos de suma o
resta.
Ejemplos de términos:
3x , -2x2, 4
Ejemplo:
3x2 - 4x
3x2 es un
término. -4x es otro término.
Un constante es un término que no contiene variables, solamente posee coeficiente.
3x2 + 9x + 8 En este caso, la constante es 8, ya que es el único término sin variables.
Un monomio
es un número, una variable o un producto de números y
variables.
Algunos ejemplos de monomios
son:
3x 2, 2x, -5, 37 p4, 0
1
x
No es un monomio porque la variable aparece en el
denominador.
___Un polinomio es una expresión cuyos términos son monomios.
x2 + 2x - 8
___Un monomio es un polinomio con un término.
5x3 Es un monomio
___Un binomio es un polinomio con dos términos.
5y2 - 3x es un binomio.
___Un trinomio es un polinomio con tres términos.
6xy - 2r2s + 4r Es un trinomio.
Polinomios con más de tres términos no reciben nombres especiales..
___Los términos de un polinomio en una variable se arreglan usualmente de modo que los exponentes de la variable van en orden de mayor a menor y de izquierda a derecha. Esto se llama orden descendente.
4x3 - 3x2
+ 6x - 1
5y4 - 2y3
+ y2 - 7y + 8
___El grado de un polinomio es
una variable es el exponente mayor.
___El Polinomio de 4x3 -3x2 + 6x - 1 es de grado 3
___ 5y4 - 2y3
+ y2- 7y + 8 es un polinomio de grado 4.
Polinomios pueden ser sumados, usando un formato vertical, mediante la combinación de términos semejantes.
Por ejemplo simplifica (2x2 + x - 1) + ( 3x3 + 4x2 - 5 ) usando el formato vertical.
Primero los términos son
arreglados.
En orden descendente son
términos semejantes en la misma.
2x2 + x - 1
+ 3x3 + 4x2 - 5
3x3 + 6x2 + x -6
Simplifica (3x3 - 7x + 2) + ( 7x2 + 2x -7) usando el formato horizontal.
Pasos:
1) Usando las propiedades
conmutativas (3x3 -
7x + 2) + (7x2 + 2x -7)
y asociativas de la adición
de reemplazar
los términos
semejantes.
3x3 + 7x2 + (-7x + 2x) + (2 + -7)
(Este paso se hace mentalmente.)
2) Combinar términos semejantes.
3) Escribir el polinomio en
orden descendente. 3x3 + 7x2 -
5x -5
Ejemplo 1:
Escribe el siguiente polinomio en
orden descendente.
3x2 - 5 + 4x3
- 2x
Solución:
4x3 + 3x2 -2x
-5
Ejemplo 2:
Escribe el polinomio en orden descendente.
x + 6x2 -1 + 5x3
Tu solución:
5x3 + 6x2 +
x - 1
Ejemplo 3:
Identifica el grado del polinomio
8x3 - 2x2 -7
Solución:
El exponente mayor de la variable x
es 3.
El grado de 8x3 -
2x2 - 7 es grado 3.
Ejemplo 4:
Identifica el grado del polinomio
9x4 - 3x2+ 11
Tu solución:
Si el exponente mayor es 4,
entonces el grado del polinomio es 4.
Ejemplo 5:
Simplifica (7y2 - 6y + 9) + ( -8y2 -2). Usar el formato vertical.
Solución:
7 y2 + - 6y + 9
+ -8 y2
+ -2
-y2 + -6y + 7
-y2 - 6y + 7
Nota: Fíjate que hemos
reescrito 7y2 - 6y + 9 como 7y2
+ -6y + 9 ( usando las reglas de la resta - restar un
número es igual que sumar el opuesto del número)
Ejemplo 6:
Simplifica ( 2x2 + 4x -3 ) + ( 5x2 - 6x ). Usar el formato vertical.
Tu solución:
2x2 + 4x - 3
+ 5x2 + -6x
7x2 + -2x +-3
Ejemplo 7:
Simplifica ( -4x2 - 3xy + 2y 2 ) + ( 3x2 - 4 y2 ). Usar el formato horizontal. En este tipo de suma se agrupan horizontalmente los términos semejantes. Términos semejantes son aquellos que tienen la misma variable o variables con el mismo exponente.
Solución:
( - 4x2 - 3xy + 2y2 ) + ( 3x2 - 4y2 )=
-4x2 + 3x2 + -3xy + 2y2 + -4y2 [Cómputo mental]
-x2 - 3xy
- 2y2
Ejemplo 8:
Simplifica (-3x3 + 2y2) + (-8x2 + 9xy). Usar el formato horizontal.
Tu solución:
(-3x3 + 2y2) + (-8x2 + 9xy)
-3x3 +( 2y2 +- 8x2 )+ 9xy
-3x3 -6x2 + 9xy
La respuesta debe estar siempre
en orden descendente.
Nuestro objetivo es
simplificar - ( x2 - 2x + 3)
Para simplificar el opuesto de un
polinomio, cambias el signo de cada término que está dentro del
paréntesis.
-(x2 - 2x +3) = - x2 + 2x - 3
Polinomios pueden ser restados
usando el formato vertical o el formato horizontal.
Recuerda que para restar es lo mismo sumar el opuesto del
polinomio.
Simplifica ( -3x2 -
7) - (-8x2 + 3x + -4). Usa el formato vertical.
1. Arreglar los términos de cada
polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la
misma columna.
2. Reescribes la resta como la suma
del opuesto.
3. Combinar los términos en cada
columna.
-3x2 + 7 - (-8x2 + 3x + -4) = |
-3x2 + 7
+ 8x2 + 3x + -4)
= 5x2 - 3x - 3
|
(Restar un número es
igual que sumar el opuesto del número.) (-3x2 - 7) - ( -8x2 + 3x + -4) (-3x2 + -7) + - (8x2 + 3x + -4) (-3x2 + -7) + ( -8x2 + -3x + 4) |
Simplifica (5x2 - 3x + 4) - ( -3x3 - 2x + 8). Usar el formato horizontal.
1. Reescribes la resta como la suma del opuesto. (5x2 - 3x + 4) - (-3x3 - 2x + 8)
2. Combinas los términos semejantes. (5x2 + -3x + 4) + - (-3x3 + -2x + 8)
3. Escribes el polinomio en orden descendente. (5x2 + -3x + 4) + (3x3 + 2x + -8)
3x3 + 5x2 + -3x + 2x + 4 + -8 3x3 + 5x2 - x - 4
Ejemplo:
Simplifica (6y2 - 3y -
1) - (7y2 - y) = Usar formato vertical.
Solución: 6y2 - 3y - 1 = 6y2 + -3y + -1 -(7y2 - y) _ + -7y2 + y_____ -y2 - 2y - 1
Ejemplo:
Simplifica (6y2 - 3y - 1) - (7y2 - y) = Usar formato vertical.
Solución:
( 6y2 + - 3y + -1)+ - (7y2 + - y) = 6y2 + -3y+-1 + -7y2 + y 6y2 + -7y2 + -3y + y + -1 -y2 + -2y + -1 -y2- 2y - 1
Ejemplo:
Simplifica (4x3
- 3x - 7) - (7x2 - 4x - 2) . Usar el formato
horizontal.
Solución:
(4x3 - 3x - 7) - (7x2 - 4x - 2)
(4x3 + -3x + -7) +-(7x2 + -4x + -2)
(4x3 + -3x + -7) + (-7x2+ 4x + 2)
4x3 + -7x2 + -3x + 4x + -7 +2
4x3 + -7x2 + x + -5
4x3 + -7x2 + -3x + 4x + -7 + 2
4x3 + -7x2 + -3x + 4x + -7 + 2
4x3 + -7x2 + x + -5
4x3 - 7x2 + x - 5
Ejemplo:
Simplifica ( -3a2 - 4a + 2) - (5a3 + 2a - 6). Usar el formato horizontal.
Tu solución:
(-3a2 - 4a + 2) - (5a3 + 2a - 6)
(-3a2 - 4a + 2) + -(5a3 + 2a - 6)
(-3a2 - 4a + 2) + ( -5a3 - 2a + 6)
-5a3 + -3a2 + -4a + -2a + 2 + 6
-5a3 - 3a2
- 6a + 8
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